含有參數(shù)的絕對值不等式解法舉例

馬俊杰

題型一

普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》（選修4-5）——《不等式選講》第20頁的第9題是：

如果關于x的不等式︱x-3︱+︱x-4︱

解法一 當x≤3時，解得x>7-a2.

當31.

當x≥4時，解得x<7+a2.

要使原不等式的解集不是空集，只需使7-a2<3，即a>1或7+a2>4，即a>1.

綜上所述：a>1.

解法二 令f（x）=|x-3|+|x-4|，即

f（x）= -2x+7，x≤3， 1，3

作出函數(shù)的圖像（如圖），它是分段線段函數(shù).

由圖像可知，當a>1時，原不等式有解.

解法三 由絕對值三角不等式可知：

︱x-3︱+︱x-4︱=︱x-3︱+︱4-x︱≥︱（x-3）+（4-x）︱=1.

要使︱x-3︱+︱x-4︱1.

本題還可以做以下變式：

︱x-4︱+︱x-3︱

變式1：若關于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱>a恒成立，求參數(shù)a的取值范圍.

解 令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱.

因為︱x-4︱+︱x-3︱≥1，

所以fmin（x）=1.

若要使原不等式恒成立，只需使fmin（x）>a即可.

即a<1.

變式2：若關于x的不等式︱x-4︱+︱x-3︱

令f（x）=︱x-4︱+︱x-3︱，則fmin（x）=1.

若要使原不等式的解集為，只需使fmin（x）>a.

變式3：若關于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a有解，求參數(shù)a的取值范圍（a<1，解略）.

變式4：若關于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱1，解略）.

變式5：若關于x的不等式︱x-3︱-︱x-4︱>a的解集為，求參數(shù)a的取值范圍（a≥1，解略）.

題型二

︱x2+2x-3︱>a.

當a<0時，得x∈R， ①

當a≥0時，得x2+2x-3>0或x2+2x-3<-a.②

由①得 x>-1+4+a或x<-1-4+a.

由②得（x+1）2<4-a.

此時分類可知，若0≤a<4，解得-1-4-a

若a≥4，此不等式無解.

綜上，當a<0時，原不等式解集為R；

當0≤a<4時，原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a或-1-4-a

當a≥4時，原不等式解集為{x︱x>-1+4+a或x<-1-4+a}.