一道高考題的思路分析

何勇波

試題呈現 直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠BCA=90°].[M，N]分別為[A1B1，A1C1]的中點，[BC=CA=CC1].則[BM]與[AN]所成角的余弦值為（ ）

A.[110] B.[25] C.[3010] D.[22]

下面介紹4種思路和9種解法.

思路一 運用向量解題

1. 建立空間直角坐標系，利用坐標運算解題

解析 以[C]為原點，[CA，CB，CC1]分別為[x，y，z]軸建立如圖所示的空間直角坐標系.為了運算方便不妨設[BC=CA=CC1=2]（本文以下解法都與此相同），

則[A2，0，0]，[B0，2，0]，[M1，1，2]，[N1，0，2]，

則[BM=1，-1，2]，[AN=-1，0，2]，[BM?AN=3]， [BM=6]，[AN=5].

所以[cos=36?5=3010.]

2. 利用基向量表示所求向量求解

解析 如圖，[BM=BB1+B1M=CC1+][12CA-CB，][AN=AA1+A1N=CC1+12AC]

[BM?AN][=3]，

[AN=5] ，[BM=6].

故[cos=36?5][=3010].

思路二 平移其中的一條線找異面直線成的角

1. 補成正方體平移[AN]

解析 如圖，取[AD]中點為[E]，[BM]中點為[F]，則[AE]與[MN]平行且相等， 因此[AN]與[EM]平行且相等，所以[∠BME]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角. 在等腰[△BME]中易求[BE=EM=5]，[BM=6]，所以，[cos∠BME=MFME=625=3010].

2. 在側面[BB1A1A]內平移[BM]

解析 如圖，過[A]作[BM]的平行線與[B1A1]的延長線交于[D]，連接[ND]則[∠DAN]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角.在[△DMN]中，[MN=1]，[DM=22]，[∠DMN=45°]，利用余弦定理求出[DN=5]，在等腰[ΔDAN]中，[AN=DN=5]，[BM=6]，所以，[cos∠DAN=3010].

3. 在體內平移[BM]

解析 如圖，取[BC]中點為[D]，連接[AD]，[DN]，[MN]，因為[MN]與[BD]平行且相等，所以四邊形[BDNM]為平行四邊形，則[∠DNA]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角，[∵BM=DN=6]，[AD=AN=5]，解[ΔADN]得[cos∠DNA=3010].

思路三 平移這兩條線找異面直線成的角

1. 在體的表面平移[BM]與[AN]

解析 如圖，取[AA1]中點為[F]，[AB]中點為[D]，[AD]中點為[E]. 在側面[ABB1A1]內將[BM]平移至[EF]. 取[A1N]中點為[G]，則[FG]是[ΔA1AN]的中位線，這樣在側面[ACC1A1]內將[AN]平移至[FG]. 則[∠EFG]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角.取[AM]中點為[H]， 連接[HG，HE].在直角三角形[EHG]中求出[EG=172]，又[EF=62]，[FG=52]，利用余弦定理求出[cos∠EFG=-3010]，因為異面直線成角的范圍是[0°，90°]，所以[BM]與[AN]所成角的余弦值為[3010].

2. 在體內平移[BM]與[AN]

解析 如圖，連接[BN，MN]，取[AB]中點為[D]，[BN]中點為[E]，[MN]中點為[F]，連接[DE，EF]，知[DE]，[EF]分別是[ΔABN]及[ΔBMN]的中位線，因此[∠DEF]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角，連接[MD，DF].在直角三角形[DMF]中求出[DF=172]，又[EF=62]，[DE=52]，以下解法同上.

3. 在體外平移[BM]，在體內平移[AN]

解析 如圖，連接[AM，MN]，取[MN]中點為[F]，[AB]中點為[D]，[AM]中點為[E]，則[DE]，[EF]分別是[ΔABM]及[ΔAMN]的中位線，因此[∠DEF]就是異面直線[BM]與[AN]所成的角，連接[MD，DF]，以下解法同上.

思路四 構造三棱錐利用公式求解

解析 如圖，連接[AM，BN]，在三棱錐[A-BMN]中；易知[AB=22]，[BM=AM=][6]，[AN=5]，[BN=3]，[MN=1]. 設異面直線[BM]與[AN]所成的角為[θ]，代入公式中有[cosθ=8+1-9+62×6×5=3010].

公式：[cosθ=AB2+MN2-BN2+AM22BM?AN]（證明略）.