運用化歸轉化的三個要點

劉懷成

化歸轉化就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到目的的一種方法.一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題.

條件轉化要全面

例1 函數[f（x）]的定義域[D={x|x≠0}]，且滿足對于任意[x1，x2∈D]，有[f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）].

（1）求[f（1）]的值；

（2）判斷[f（x）]的奇偶性并證明；

（3）如果[f（4）=1]，[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，且[f（x）]在（0，+∞）上是增函數，求[x]的取值范圍.

分析 由抽象不等式轉化為一般不等式的過程中，一定要注意到定義域和單調區間，不能認為[f（x）]在定義域[D]上單調遞增.

解 （1）令[x1=x2=1]，

有[f（1×1）=f（1）+f（1）]，解得[f（1）=0].

（2）[f（x）]為偶函數，證明如下：

令[x1=x2=-1]，有[f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）]，

解得[f（-1）=0].

令[x1=-1]，[x2=x]，有[f（-x）=f（-1）+f（x）]，

∴[f（-x）=f（x）]，∴[f（x）]為偶函數.

（3）[f（4×4）=f（4）+f（4）=2]，

[f（16×4）=f（16）+f（4）=3].

由[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，

變形為[f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）].①

∵[f（x）]為偶函數，

∴[f（-x）=f（x）=f（|x|）].

∴不等式①等價于[f[|（3x+1）（2x-6）|]≤f（64）].

又∵[f（x）]在（0，+∞）上是增函數，

∴[|（3x+1）（2x-6）|≤64]，且[（3x+1）（2x-6）≠0].

解得[-73≤x<-13]或[-13

∴[x]的取值范圍是[{x|-73≤x<-13]或[-13

點評 在對題目進行分析時，條件的梳理、轉化是解題的重點，在條件轉化時，一定要對條件進行全面考慮，挖掘隱含條件，不能顧此失彼，造成轉換不等價.

轉化過程要準確

例2 在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在∠ACB的內部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

分析 本題是幾何概型的概率問題，根據題意，選擇角度作為幾何概型的度量.本題易發生的錯誤是認為點M隨機落在線段AB上，認為線段AB為基本事件的區域，認為是長度型的幾何概型.

解 由于在∠ACB內作射線CM，所以CM在∠ACB內等可能分布（如圖所示），因此基本事件的區域應是∠ACB，在AB上取點C′，使得AC′=AC，

所以[P（AM

點撥 解題過程中運用一些定理、公理或結論時，必須保證過程準確，不能錯用或漏用條件，和公理、定理的適用條件進行比對，轉化過程中推理變形要等價.

轉化思路要靈活

例3 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，[PA=2AB=2].

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；

（2）若F為PC的中點，求證：PC⊥平面AEF；

（3）求證：CE∥平面PAB.

分析 在證明線面關系時，可以利用線線關系，也可以利用面面關系，第（3）步證明中既可在平面PAB中作一直線，使其和CE平行；也可以過CE作一平面，使其和平面PAB平行.

解 （1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，

∴BC=[3]，AC=2.

在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，

∴CD=[23]，AD=4.

∴SABCD=[12]AB·BC+[12]AC·CD

=[12]×1×[3]+[12]×2×[23]=[523].

則V=[13]×[523]×2=[533].

故四棱錐P-ABCD的體積為[533].

（2）證明：∵PA=CA，F為PC的中點，∴AF⊥PC.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC.

∴CD⊥PC.

∵E為PD的中點，∴EF∥CD，則EF⊥PC.

∵AF∩EF=F，

∴PC⊥平面AEF.

（3）證明：（方法一） 取AD中點M，連接EM，CM.如圖所示.

則EM∥PA.

∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，∴EM∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，

∴∠ACM=60°.

而∠BAC=60°，∴MC∥AB.

∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，∴MC∥平面PAB.

∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB.

∵CE?平面EMC，∴CE∥平面PAB.

（方法二）延長DC，AB，設它們交于點N，連接PN.如圖所示.

∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，

∴C為ND的中點.

∵E為PD的中點，∴CE∥NP.

∵CE?平面PAB，NP?平面PAB，

∴CE∥平面PAB.

點撥 解決數學問題的過程就是一個由條件到結論的等價轉化的過程，其轉化過程往往不是惟一的.在解題時我們要從條件出發，靈活轉化，從不同的角度解決問題.