分類討論思想精讀

劉斌

分類討論思想的本質是“化整為零，積零為整”.用分類討論的思維策略解數學問題的操作過程：明確討論的對象和動機→確定分類的標準→逐類進行討論→歸納綜合結論→檢驗分類是否完備（即分類對象彼此交集為空集，并集為全集）.做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分類不重復、不遺漏”的分析討論.

由數學概念、性質、運算引起的分類討論

（1）由數學概念引起的討論要正確理解概念的內涵與外延，合理進行分類. （2）運算引起的分類討論有很多，如除法運算中除數不為零，偶次方根為非負，對數運算中真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式兩邊同乘以實數[a]，三角函數的定義域，去絕對值時的討論及分段函數的討論等.

例1 當[x∈[-2，1]]時，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，則實數[a]的取值范圍是（ ）

A.[-5，-3] B. [[-6，-98]]

C.[-6，-2] D.[-4，-3]

解析 （1）當[-2≤x<0]時，不等式可轉化為[a≤][x2-4x-3x3]，

令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x<0）]，

則[f（x）=][-x2+8x+9x4]=[-（x-9）（x+1）x4]，

故函數[f（x）]在[-2，-1]上單調遞減，在（-1，0）上單調遞增.

此時有[a≤fmin（x）=f（-1）=][1+4-3-1]=-2.

（2）當[x=0]時，不等式恒成立.

（3）當[0

令[g（x）=x2-4x-3x3（0

則[g′（x）=-x2+8x+9x4].

故函數[g（x）]在（0，1]上單調遞增，此時有[a≥gmax（x）=g（1）=1-4-31]=-6.

綜上，[-6≤a≤-2].

答案 C

由圖形位置或形狀引起的討論

求解有關幾何圖形問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，所以需要根據圖形的特征進行分類討論.一般由圖形的位置或形狀變化引發的討論包括：二次函數對稱軸位置的變化；函數問題中區間的變化；函數圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化.

例2 已知變量[x，y]滿足的不等式組[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的是一個直角三角形圍成的平面區域，則實數[k]等于（ ）

A.-[12] B. [12]

C.0 D.-[12]或0

解析 不等式組[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的可行域如圖（陰影部分）所示.

由圖可知若不等式組[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的平面區域是直角三角形，只有直線[y=kx+1]與直線[x=0]垂直（如圖①）或直線[y=kx+1]與直線[y=2x]垂直（如圖②）時，平面區域才是直角三角形.

[① ②]

由圖形可知，斜率[k]的值為0或-[12].

答案 D

由參數引起的分類討論

一般地，遇到題目中含有參數的問題，常常結合參數的意義和對結果的影響進行分類討論. 此種題目為含參型，應全面分析參數變化引起結論的變化情況，參數有幾何意義時還要適當地運用數形結合思想，分類要做到標準明確，不重不漏.

例3 已知函數[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=]2.71828…為自然對數的底數.設[g（x）]是函數[f（x）]的導函數，求函數[g（x）]在區間[0，1]上的最小值.

解析 由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，

[g（x）=f（x）=ex-2ax-b].

所以[g（x）=ex-2a].

因此，當[x∈[0，1]]時，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].

（1）當[a≤12]時，[g（x）]≥0，

所以[g（x）]在[0，1]上單調遞增，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

（2）當[a≥e2]時，[g（x）]≤0，

所以[g（x）]在[0，1]上單調遞減，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

（3）當[12

所以函數[g（x）]在區間[[0，ln（2a）]]上單調遞減，在區間[（ln（2a），1]]上單調遞增.

于是，[g（x）]在[0，1]上的最小值是

[g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.]

綜上所述，當[a≤12]時，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

當[12

當[a≥e2]時，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

常見的分類討論問題

（1）集合：注意集合中空集的討論.

（2）函數：對數函數或指數函數中的底數[a]，一般應分[a>1]和[0

（3）數列：由[Sn]求[an]時分[n=1]和[n>1]討論；等比數列中分公比[q=1]和[q≠1]討論.

（4）三角函數：角的象限及函數值范圍的討論.

（5）不等式：解不等式時對參數的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.

（6）立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論.

（7）平面解析幾何：直線點斜式中[k]分存在和不存在，直線截距式中分[b=0]和[b≠0]討論；軌跡方程中含參數時曲線類型及形狀的討論.

（8）排列、組合、概率：分類計數問題.