淺析高中數學立體幾何的學與考

張偉

高中的立體幾何部分是高考的重點內容，知識分布在必修2立體幾何初步和理科選修2-1部分，高考的出題通常為選擇、填空大約10分，一道大題12分的分值分布，這個部分在高考的150分卷面分中，顯得尤為重要。那么，如何學好這個部分就是學生與老師要共同攻克的一個難題，爭取在高考中可以得到自己滿意的分數。

研究省內近幾年高考中立體幾何的出題情況，基本為幾個考點：（1）三視圖；（2）線面關系；（3）線面關系的證明；（4）求角問題； （5）體積計算等。針對這幾個常考點的問題分布，為了提高分數，做出如下幾點應對策略：

一、多觀察，建立空間模型，培養空間想象力

學好立體幾何最重要的一點就是要有立體模型的概念，多看周圍的立體幾何體，多動手畫圖，從點到線到面到體，可以動手制作一些簡單的模型幫助自己想象。例如，棱柱跟簡單的棱錐，通過對點、線、面之間的位置關系觀察，培養自己的讀圖能力，以便于解決三視圖的問題，并能還原平面圖形為立體圖形。對幾何體線與面的位置關系能很好地理解，可以讓學生在做證明題的時候能合理說出證明的理論依據，從而使證明的時候不跑偏，可以通過合理的推理證明得出正確結論。空間想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以題設為根據，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

二、熟識教材，夯實基礎

對于必修2的數學知識中，重要的就是線與面，面與面的位置關系證明，要源于教材，重視教材的證明過程、推理過程。立體幾何的證明是數學學科中任一分值也替代不了的。論證時，保持理論知識的嚴密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次，在論證問題時，思考應多用分析法，即逐步找到結論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法（“推出法”）形式寫出運算部分必須要熟記的公式，比如求向量法，求向量成角的公式，這些都要通過不停地訓練才能使計算有質有量。

三、“轉化”思想的應用

我個人覺得，解決立體幾何的問題主要是充分運用“轉化”這種數學思想，要明確在轉化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯系，這是非常關鍵的。例如，兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角；斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角，即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。這些問題可以采用向量進行解決，可以通過建立直角坐標系后，用向量公式進行求解線線夾角，線面角可以轉化為線與法向量夾角的余角。

面和面平行可以轉化為線面平行，線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉化。這些證明如果直接法不是很熟悉，可以轉化為向量的運算。垂直關系中，面面垂直可以轉化為線面垂直，進而轉化為線線垂直。向量與向量的點乘為0，可以說明兩條向量關系為垂直關系，那么這樣轉化之后，就可以很容易解決垂直問題。

三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。

以上這些都是數學思想中轉化思想的應用，通過轉化可以使問題得以簡化。在數學教材中，理科教學更多傾向于坐標系建系后對問題的解決。

四、總結規律，規范訓練

立體幾何解題過程中常有明顯的規律性。例如，證明平行的時候，中點多找中位線，找對應邊成比例問題。證明垂直的時候，多可以找等腰或者等邊三角形的中點做高問題，求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若余弦值為負值，異面、線面取銳角。求距離的時候，多是可以考慮直接找點到面的垂線段長短，或者可以用等體積問題來求幾何體的高。

要重視規范性的訓練與寫法，高考中反映的這方面問題十分嚴重，不少考生對做、證、求三個環節交待不清，表達不夠規范、嚴謹，因果關系不充分，圖形中各元素關系理解錯誤，符號語言不會運用等。這就要求學生在平時養成良好的答題習慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規范性在數學的每一部分，立體幾何是高考中的重要部分之一，只要認真去做就一定會有收獲。

編輯 孫玲娟