見與不見

王開杰

前景提要：

作為參加工作17年的我，可以毫不夸張地說自己是看著、聽著、學習著吳正憲老師的數學課一步步成長的。2014年11月17日經緯小學，我有幸第四次在哈爾濱現場聆聽吳正憲老師的數學課。回想前面三次，場景依然歷歷在目。翻出過往的文字，細細品讀，仍然讓我心潮澎湃。再次寫下一組文字，記錄下我的敬意，也書寫下我的成長！

見與不見——見

再次見到吳老師，見到了吳老師一直掛在嘴邊的熟悉微笑，見到了吳老師的數學課堂，見到了學生真正喜歡的課堂，見到了學生們課堂結束時的戀戀不舍。毫無疑問，再次見到的是帶有吳老師明顯風格特征的數學課堂。這種風格特征一切如常，親切自然，真摯生動，智慧深刻，回味綿長。如5年前香濱小學的初見，又仿佛2年前、1年前的再相見，抑或是與吳老師同臺杭州“千課萬人”展示活動，吳老師的風格特征愈加清晰，愈加讓人印象深刻，今天這種風格特征更是彌漫充盈在整個會場中，無處不見！

對于“商不變的規律”這一教學內容而言，有一個最難把握又是不可回避的問題：大多數學生對于規律（被除數和除數都乘或除以一個相同的不為零的數，商不變）早有了解。這份了解源于已有大量相關除法知識的積累，源于逐步形成的運算能力發揮的潛移默化作用，也可能源于過早的提前學習等。面對這份學生的了解，老師們的選擇大多是兩類，要么是對于學生已有認知視若不見，全當新知來展開教學；另一種則是將這部分規律教學視如雞肋，一帶而過。

而見到吳老師的課堂卻是另一番景象：簡潔情境引入，再輔以二維的正比例數量關系，繼而借兩組例子引發學生的思考，充分引導學生暴露自己對于問題的初始想法，再通過同伴之間的比較辨析、交流碰撞進而逐步完善、建立模型。“面對很多學生已經知道的問題，要不要學，該怎樣學？”吳老師的這節課做了精彩的回答，對于老師們來說極具借鑒價值。

見與不見——不見

李玉貴老師（臺灣）曾說過：“ 一個好的課堂，是上著上著老師就不見了 。”在這節“商不變的規律”課堂上，我看見了這樣的吳老師，又或者說“我看不見吳老師了”。

吳老師真正退到了后面，學生們走向了前臺。學生由略顯青澀的表達開始，到侃侃而談，針鋒相對，再到互幫互助，智慧迸發，思維的火花不時閃現。生生的精彩互動，正是吳老師課堂中最美、最獨特的風景！

從本節課學生的認知起點來看，不同學生所處的認知階段各不相同：有完全不知道規律的，有了解一點的，有熟悉掌握的，更有可以進行數學表達進而實際應用的……如何讓不同的學生得到發展，這正是“看不見的吳老師”在發揮著作用。這“看不見”中，有吳老師對教學內容的深刻理解；這“看不見”中，有吳老師對學生學情的充分預設；這“看不見”中，更有吳老師對課上問題的及時判斷、敏銳把握與適時介入。面對學生都要求回答的場面，該選誰來講呢？那發人深省的“意義同學”怎么會出現得這樣恰到好處呢？教師退到后面，則須要更敏銳地關注前面。課堂上該如何不著痕跡地巧妙引導，吳老師為我們上了精彩的一課！

見與不見——我見

課后，我爭取到了與吳老師對話的機會：

“吳老師您好！向您提一個問題：在場有很多老師，大家往往受課時計劃所限，不能有很大的駕馭空間。就如，這一內容的課時安排只是一課時，如何處理本節課未完的其他內容，如果一定要在一節課既講完又練到，哪些部分可以刪減呢？”

吳老師給出了大課程觀的提法，講到課程安排有時可做加法，有時可做減法的答案。更是呼吁要給教師上課、備課多些空間的提法……

會后，有老師與我交流，講我是在明知故問，說我是借吳老師的話，回應諸多領導對老師們平時的“苛刻”要求！我一笑置之。在此不作評價，以下只是表達我參與此次課堂教學觀摩的感受：

1. 教什么——看清方能提升

一節數學課“教什么”本不應該是有爭議的話題，因為這是開展一切教學活動的前提。但觀摩吳老師的課卻可以帶給教師們一些啟示與思考，即數學教學的設計要從整體（知識體系建構與學生長遠發展）來思考，可以不拘泥于一節課，一個知識點，可整合、可取舍、可加減。

商不變的規律即“被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0除外），商不變”。吳老師與學生們呈現的課堂中并沒有處理規律中的除法（被除數和除數同時除以一個相同的數），也沒有處理“0除外”這一特殊情況。這樣的選擇（教什么）看上去有些異于常理，課后吳老師從課程觀的角度（前面提到的），以及培養學生的角度出發，對其中的原因做了細致的解讀。吳老師的見解高屋建瓴、引人深思，應該說帶給一線老師們極大的啟發。

在這里要補充一點我的理解，其實吳老師對于這一教學內容的取舍及教學目標（教什么）的設定，在一定程度上是受其教學風格（怎么教）影響的。吳老師的課堂總是能夠極大地凸顯學生中心的理念，開放、包容的課堂總是充滿了活力。同時學生又并不是單一的中心，吳老師的教學又總能巧妙地體現一種平衡（時而見時而不見），既以學生為中心又以教師為中心，這兩個中心通過有效的問題預設和敏銳的問題捕捉做了很好的銜接。

但這樣課堂就會遇到一個難以回避的掣肘，即借班上課的師生須要建立默契（更多指向的是學生對于老師教學理念、教學方法的適應）。師生難免要有一個試探（甚至是反復試探）的過程，而這一打破陌生建立默契的過程恰恰又是吳老師課堂極為閃光之處。可隨之而來的也就是要想在規定的時間（40分鐘）完成規定的內容（教材中的內容）那顯然是不可能的事情。由此，我們解讀很多觀摩課并不以限定的時間作為嚴格的卡尺，這是有原因的。

由此也產生了一個期待：名師們帶著自己的學生上課，那定會是更勝一籌的美妙。

可對于更普適的數學課堂，教什么呢？一節課40分鐘，按照教材編排展開教學，按照課時計劃走的教師還是大多數（絕大多數），從這一角度去思考一節常態、適合大多數老師自己的實踐課，也許會更受益！更普適地教，開展更普適的教研活動希望成為一個方向。

向吳老師學習，學習、揣摩、實踐這師生雙中心顯然任重而道遠，須要腳踏實地，非一日之功。如果回到更為平常的課堂，暫且拋開高大上的理念與做法，先來弄清這一內容（商不變的規律）的教學目標到底是什么。我覺得應達到的知識與能力目標至少有“經歷探索‘商不變的規律全過程；在觀察、比較、討論、交流中發現‘商不變的規律；能運用這一規律進行一些除法的簡便計算。更進一步可能還有“相關規律的遷移類比（見2.怎么教）等”。

由此，我想表明一種觀點，吳老師的課（教什么）顯然不是商不變的規律唯一的上法。老師們的特點不一、風格迥異。每一位教師都應該有對待問題的獨立思考與冷靜判斷，否則就只會學到熱鬧，偏離門道。吳老師基于大課程觀的理解，基于自己對課堂、教材的把握，基于借班上課的學生實際，她的課不會適合下面的每一位老師，也不可能適合每一位老師。面對精彩的課堂，我們不應只是心動、激動，簡單地模仿，更要看清、學習、借鑒執教者的思考與研究，進而結合自己現有的實際來提升視野，豐富課堂，乃至形成風格。

2. 怎么教——還可以怎樣教

“就這節‘商不變的規律，吳老師是怎么教的，還可以怎樣教呢？如果我來上，會有怎樣的突破呢？”這是觀摩學習中，我一直不斷思考的另一個問題。冒昧借吳老師課的思路為線索，展開一些自己的思考，歡迎批評指正。

吳老師在這節課的課后交流中提到，特別看重通過學生自主合作交流，通過數學表達（語言表達、文字表達、圖示表達）來建構數學模型（商不變的規律），感受數學思想，尤其提到將這節課重點放在理解商不變的規律中“乘”的基本規律上。這一解讀切中教學內容的數學本質，體現了吳老師對于知識的深刻把握，課堂的呈現也更是淋漓盡致地體現了吳老師的設計意圖。

對照一下人教版教材（左圖），顯然吳老師處理的是“例8（3）”中的左半部分“被除數和除數都乘一個相同的數，商不變”。

借此我們再來分析一下教材，同一頁教材中“例8（1）、（2）、（3）”，這三道小題給出了三個層次，兩個角度對除法規律的解讀。這里是否可以一起引入它們，借助辨析比較會不會對商不變規律的建模更有幫助呢？

隨之而來的問題就是，吳老師的這節課已然滿滿，如何再加入這樣的內容呢？換種問法，這節課中可不可以對某些環節進行整合，有些方式是不是可以變化呢？

吳老師課堂中看重學生的數學表達，學生的交流互動，但有了更好（多樣、有層次）的數學表達就代表學生對商不變規律有了更本質的提升嗎？試想，不同的學生的表達方式并不相同，學習風格也不盡相同。可能有更善表達的學生，也自然會有學生屬于“茶壺煮餃子”倒不出來的，這不應是辨別學生學習、理解掌握知識情況的唯一途徑。借助外在的數學表達讓學生來質疑與深化規律的理解，應該只是一種方式，而非唯一的方式。整合一些表達環節，壓縮一些時間，進而借助前面的三道小題，三個層次，兩個角度，引導學生揭示規律，體會規律的不同變式，對于深入理解規律也許是一種有益的嘗試。豐富的變式對于概念的建構將起到重要的作用。

再如從“商不變”可以聯想到“被除數不變、除數不變”；同樣也可以聯想到“積不變，和不變，差不變”；進而繼續延伸到“商變”等一系列規律的探索。這樣的聯想類比會更豐富學生對于運算本質的理解，提升學生的運算能力。更遠些，在學習了小數、分數運算以后，規律也可以再提升。“數學思想主要反映了認識的深度，那么，就只有從較為廣泛的角度去進行分析，也即十分重視視角的廣度，我們才能達到較大的深度，也即準確地揭示出相關知識內容中所蘊含的數學思想。”（鄭毓信語。）

當然知易行難，說永遠比做要容易。再次感謝吳老師的課堂帶給我的啟示與思考，實踐的道路永遠艱辛，與走在這條路上的老師們一起共勉。