審視結構形式聯想公式定理

丁有剛

相似聯想是指由一個事物外部構造、形狀或某種狀態與另一種事物的類同、近似而引發的想象延伸和連接.在數學解題中，我們要善于觀察題設中的結構形式，找到某種特定的相似性，通過聯想思維，把題設中看似陌生的形式與我們學過的公式、定理、法則聯系起來，進而達到簡便、巧妙解題的目的.下面，我們就如何“審視結構”，通過相似聯想，利用這些公式定理簡易解題，逐一舉例說明.

聯想一元二次方程根的判別式

例1 [x，y∈R+，8x+y-xy=0，]求[x+y]的最小值.

分析 若令[x+y=k]，在[8x+y-xy=0]中把“[y]”用[x，k]表示出來，則原式就變為關于“[x]”的一元二次方程，這樣，我們就可聯想到判別式.

解 令[x+y=k]，則[y=k-x].

[∴8x+y-xy=0]可化為：[x2+（7-k）x+k=0].

[∵x∈R][+]，∴[Δ=][（7-k）2-4k≥0].

又[k>0，k-7>0，]

[∴k≥9+42].

所以[x+y]的最小值為[9+42].

聯想基本不等式

例2 [x，y∈R+，8x+y-xy=0，]求[x+y]的最小值.

分析 對已知條件稍加變形得，[8y+1x=1]，則[x+y][=][（x+y）][（][8y+1x）][=9+（yx+8xy）].這樣符合基本不等式的形式結構，滿足“一正，二定，三相等”的條件，可用基本不等式直接出結果.

解 ∵[x，y∈R+，8x+y-xy=0，]

∴[8y+1x=1].

則[x+y][=][（x+y）][（][8y+1x）]

[=9+（yx+8xy）][≥9+2yx?8xy=9+42].

所以[x+y]的最小值為[9+42].

聯想概率模型

例3 已知[x∈0，π2]，求證[4+sin2x1+2sin（x+π4）≥2].

分析 要證原式，只需證[2+sinxcosx][≥1+sinx][+cosx，]即只需證[sinx+cosx-sinxcosx≤1].若[P（A）=sinx，][P（B）=cosx]，則[P（A+B）=sinx+cosx-sinxcosx≤1]，顯然成立.

證明 由題意，[0≤sinx≤1，0≤cosx≤1]，

設獨立事件[A，B]，且[P（A）=sinx，P（B）=cosx].

[∴P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=sinx+cosx-sinxcosx.]

而[0≤P（A+B）≤1].

∴[sinx+cosx-sinxcosx≤1].

∴[2+sinxcosx≥1+sinx+cosx].

∴[4+sin2x1+2sin（x+π4）≥2].

聯想三角中的差角與和角公式

例4 在等邊三角形[ABC]中，[D]是[BC]邊的三等分點，有一束光線沿[AD]投射到[BC]邊后，反射到[AB]邊上[E]處，經[AB]反射到[AC]邊上[F]處，證明光線最后經[AC]反射后經過[B]點射出.

解析 建立如圖坐標系.

設[B（-3，0），C（3，0），]則[D（-1，0），A（0，33）].

直線[AB]的方程：[y=3x+33]①，

直線[AC]的方程：[y=-3x+33]②.

[kAD=33，kED=-33=tan∠EDC].

那么直線[ED]的方程為：[y=-33x-33]③.

①③聯立解得[E（-32，332）].

設直線[EF]的傾斜角為[α]，

則[α=60°-∠AEF=60°-∠BED].

而[∠EDC=60°+∠BED]，

∴[α=120°-∠EDC].

[tanα=tan（120°-∠EDC）=-3-（-33）1+（-3）（-33）=35].

則直線[EF]的方程：[y=35x+935]④.

②④聯立得[F（1，23）].

設經[AC]反射后的光線所在直線為[l]，[l]與[x]軸的交點為[H]，[l]的傾斜角為[β]，

則[β=180°-60°-∠CFH=120°-∠AFE=∠AEF]

[=∠BED=∠EDC-60°].

∴[tanβ=（-33）-31+（-33）×3=32].

直線[l]的方程為：[y=32x+332]⑤.

將[B（-3，0）]代入⑤，顯然成立.

故最后光線經過[B]點射出.

聯想正弦定理

例5 [α，β]都是銳角，且[2sinα=sin（α+β）]，證明：[β>α].

分析 題設條件簡單，要從三角本身變換，似乎不太容易解決問題.但由[2sinα=sin（α+β）]，稍作變換，可得：[1sinα=2sin（α+β）=2sin（π-α-β）]，這讓我們聯想到正弦定理的形式：[asinA=bsinB=csinC]，所以可用正弦定理輕易而舉地解決.

證明 在三角形[ABC]中，令[A=α，B=β，][C=π-α-β，]

由正弦定理得，[asinα=csin（π-α-β）=csin（α+β）].

∵[2sinα=sin（α+β）]，

∴[c=2a].

又[a+b>c]，∴[b>a].

∴[B>A]，即[β>α].

聯想點到直線距離公式

例6 已知[mcosα+nsinα=1]，求證：[m2+n2≥1].

分析 [（cosα，sinα）]是單位圓上的一點，這點還在直線[mx+ny=1]上，顯然圓心[（0，0）]到直線的距離[d≤r=1]，這樣自然聯想到點到直線的距離公式.

證明 由題意知，直線[mx+ny=1]過單位圓上一點[（cosα，sinα）].

則圓心[（0，0）]到直線的距離[d≤r=1]，

又[d=1m2+n2]，

∴[1m2+n2≤1]，∴[m2+n2≥1].

聯想向量數量積形式

例7 已知[mcosα+nsinα=1]，求證：[m2+n2≥1].

分析 等式[mcosα+nsinα=1]左邊可看作向量[（m，n），（cosα，sinα）]的乘積.而[m2+n2]正是向量[（m，n）]的模.因此可用向量數量積來解決.

證明 設[a=（m，n），b=（cosα，sinα）]，它們的夾角為[β]，

則[a?b=mcosα+nsinα=1].

又[a?b=a?][bcosβ][=m2+n2][cosβ]，

∴[m2+n2][cosβ][=1].

∴[m2+n2≥1].

聯想函數的奇偶性

例8 已知[x，2y∈-π4，π4，a∈R]，且[x3+sinx-2a=0，][4y3+sinycosy+a=0].求[cos（x+2y）的值].

分析 由題意可得，[x3+sinx=2a，（2y）3+sin2y][=-2a]，兩式左端結構相同，因此可構造函數[ft=t3+sint，]而兩式右端互為相反數，因此可考慮用函數奇偶性.

解 由題意得，[x3+sinx=2a，（2y）3+sin2y=-2a].

設[ft=t3+sint，][t∈-π4，π4，]易知[f（t）]為奇函數，

且在[-π4，π4]上單調遞增.

則[f（x）=2a，f（2y）=-2a].

∴[f（x）=-f（2y）=f（-2y）].

∴[x=-2y] 即[x+2y=0].

∴[cos（x+2y）=cos0=1].

聯想斜率公式

例9 已知[f（x）=1+sinx2+cosx]，求[f（x）]的最值.

分析 [f（x）=1+sinx2+cosx]可化為[f（x）=sinx-（-1）cosx-（-2）]，這就是動點[M（cosx，sinx）]和定點[P][（-2，-1）]連線[PM]的斜率[k].又點[M（cosx，sinx）]在單位圓上，所以當[PM]與單位圓相切時[k]取最值.

解 設[f（x）=1+sinx2+cosx][=][sinx-（-1）cosx-（-2）][=k]，

則過[M（cosx，sinx）]與[P][（-2，-1）]的直線[PM]的方程為[y+1=k（x+2）]，即[kx-y+2k-1=0].

又點[M（cosx，sinx）]在單位圓上，

當[PM]與單位圓相切時，圓心[（0，0）]則直線[PM]的距離：[d=2k-1k2+1=1].

解之得，[k=0]或[k=43].

所以，[f（x）min=0，][f（x）max=43].

聯想兩點間距離公式

例10 已知在[△ABC]中，[BC=2，AC=2AB]，求[△ABC]的面積最大值.

分析 題設中出現“[AC=2AB]”這樣的距離關系.這樣可聯想建立坐標系，利用兩點間距離公式，表述上述關系.

解 建立如圖坐標系設[A（x，y），C（0，0），B（2，0）]，

則[AC=x2+y2，AB=（x-2）2+y2].

∵[AC=2AB]，

∴[x2+y2=（x-2）2+y2].

整理得：[（x-4）2+y2=8].

所以[A]在以[（4，0）]為圓心，[22]為半徑的圓上.

所以，[△ABC]的[BC]邊上高[h]的最大值：

[hmax=r=22].

所以[△ABC]的面積最大值：

[Smax=12×2×22=22].

我們在解題中要仔細觀察分析結構形式，大膽聯想，把不熟悉的結構形式與我們熟知的公式定理掛起鉤來，從而達到迅速解題的目的.