淺析行列式

譚森

【摘要】本文主要介紹了行列式的相關知識。在理解行列式之前，首先需對排列的知識，然后從解多元一次方程組引入行列式。了解行列式的相關概念和性質以及克萊姆法則和拉普拉斯理論的應用，本文也對幾種常見的特殊行列式如范德蒙德行列式作了介紹，并列舉了四種題型進行求解。將行列式的知識應用到解決線性代數問題中，學會行列式的相關計算將會對矩陣及其他代數問題有很大的幫助。

【關鍵詞】行列式;克萊姆;拉普拉斯;范德蒙德

1、準備知識

定義1?由組成的一個有序數組成為一個級排列。

定義2?在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，及前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數就稱為這個排列的逆序數。

定義3?逆序數為偶數的排列稱為偶排列;逆序數為奇數的排列稱為奇排列。

定理1?對換改變排列的奇偶性。即經過一次對換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列。

推論?在全部級排列中，奇、偶排列的個數相等，各有個。

定理2?任意一個級排列與排列都可以經過一系列對換互變，并且所作變換的個數與這個排列有相同的奇偶性。

2、行列式及相關名詞的概念

2.1階行列式

階行列式

是所有取自不同行不同列的個元素成績的代數和，它由項組成，其中帶正號與帶負號的項各占一半，表示的逆序數，當是偶排列時，該項的前面帶正號;當是奇排列時，該項前面帶負號，表示對所有階排列求和。

2.2余子式和代數余子式

用行或列展開公式計算行列式

其中，，

是中去掉行列元素后的階行列式，稱之為的余子式;而給余子式帶有符號即，則稱為的代數余子式。

3、行列式的性質

1. 經轉置的行列式的值不變，即;
2. 行列式中的某一行各元素如有公因數，則可以提到行列式符號外。特別地，若行列式中某行元素全是零，則行列式的值為零;
3. 如果行列式中某行的每個元素都是兩個數的和，則這個行列式可以拆成兩個行列式的和;
4. 對換行列式中某兩行的位置，行列式的值只改變正負號。特別低，如兩行元素對應相等（或成比例），則行列式的值是零;
5. 把某行的倍加至另一行，行列式的值不變;
6. 行列式一行（列）元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和必為零，即

;

1. 若是階矩陣，且是矩陣的特征值，則，，;
2. 若是階可逆矩陣，則;
3. 若都是是階矩陣，則;
4. 若矩陣相似，則;

4、幾種特殊的行列式

1. 對角形行列式：主對角線以外的元素全為零的行列式稱為對角形行列式
2. 級范德蒙德（Vandermonde）行列式，對任意的，級范德蒙德行列式等于這個數的所有可能的差的乘積。

1. 拉普拉斯（Laplace）展開式：設是階矩陣，是階矩陣，則

1. 爪型行列式，如

，對于爪型行列式把每一行的適當倍數加至第一行可以化為下三角行列式。

5、行列式在線性代數中的應用

1. 當時，齊次方程組有非零解，而此時的非齊次方程組沒有唯一解（可能無解，可能有無窮多解）。而當時，由克萊姆法則，可求出的唯一解。

1. 可證明矩陣可逆，并可由伴隨矩陣求出
2. 對個維向量可通過計算行列式是否為零來判斷它們是否線性相關或線性無關
3. 矩陣的秩是用中非零子式的最高階數來定義的
4. 求矩陣的特征值，其中一個重要方法是通過計算
5. 判斷二次型的正定性，可用順序主子式全大于零。

參考文獻：

[1]《高等代數》[M]王萼芳，石生明?高等教育出版社