走進高考看概率與統計的交融

楊文金

概率與統計圖表結合

概率與與統計圖表相結合是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點，在歷年的高考試題中曾多次出現. 我們應掌握頻率分布直方圖、莖葉圖、頻率分布密度曲線的幾何意義.

[50 100 150 200 250][0.006

0.005

0.004

0.003

0.002][日銷售量/個][頻率

組距][O]例1 ?（2014年高考遼寧卷）一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設每天的銷售量相互獨立.

（1）求在未來連續3天里，有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;

（2）用[X]表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數，求隨機變量[X]的分布列，期望[E（X）]及方差[D（X）].

解析 ?（1）設[A1]表示事件“日銷售量不低于100個”，[A2]表示事件“日銷售量低于50個”，[B]表示事件“在未來連續3天里有連續2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”. 因此

[P（A1）]=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，

[P（A2）]=0.003×50=0.15，

[P（B）]=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）[X]可能取的值為0，1，2，3，相應的概率分別為

[P（X=0）]=C[03]·（1-0.6）3=0.064，

[P（X=1）]=C[13]·0.6（1-0.6）2=0.288，

[P（X=2）]=C[23]·0.62（1-0.6）=0.432，

[P（X=3）]=C[33]·0.63=0.216.

[X]的分布列為

[[X]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&[P]＼&0.064＼&0.288＼&0.432＼&0.216＼&]

因為[X～B]（3，0.6），所以期望[E（X）]=3×0.6=1.8，方差[D（X）]=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

點撥 ?本題主要考查頻率分布直方圖與二項分布，要求我們讀懂頻率分布直方圖，會利用二項分布求概率.

概率與統計的數字特征相結合

本內容主要要求我們掌握統計的常見的數字特征的算法，比如中位數、平均數、眾數、方差和標準差.

例2 ?（2014年高考湖北卷）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量[X]（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.

（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率.

（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量[X]限制，并有如下關系：

[年入流量X＼&40120＼&發電機最多可運行臺數＼&1＼&2＼&3＼&]

若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元;若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

解析 ?（1）依題意，[p1=P（40120）=550]=0.1.

由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為

[p=C04（1-p3）4+C14（1-p3）3p3=]0.94+4×0.93×0.1=0.9477.

（2）記水電站年總利潤為[Y]（單位：萬元）.

①安裝1臺發電機的情形.

由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤[Y]=5000，[E（Y）]=5000×1=5000.

②安裝2臺發電機的情形.

依題意，當40<[X]<80時，一臺發電機運行，此時[Y]=5000-800=4200，因此P（Y=4200）=P（40

[[Y]＼&4200＼&10000＼&[P]＼&0.2＼&0.8＼&]

所以，[E（Y）]=4200×0.2+10000×0.8=8840.

③安裝3臺發電機的情形.

依題意，當40120時，三臺發電機運行，此時Y=5000×3=15000，因此P（Y=15000）=P（X>120）=p3=0.1. 由此得Y的分布列如下：

[Y＼&3400＼&9200＼&15000＼&P＼&0.2＼&0.7＼&0.1＼&]

所以，[E（Y）]=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺.

點撥 ?在計算二項分布的概率分布列時，要注意以下幾點：（1）分清楚在獨立重復試驗中，總共進行了多少次重復試驗，即先確定[n]的值，然后確定在一次試驗中某事件[A]發生的概率是多少，即確定[p]的值，最后再確定某事件[A]發生了多少次，即確定[k]的值;（2）準確算出每一種情況下，某事件[A]發生的概率;（3）算出的結果要驗證是否符合離散型概率分布列的兩個基本性質.

古典概率與獨立性檢驗、回歸方程相結合

本內容主要是考查獨立性檢驗、回歸方程的求法和步驟. 應特別注意回歸方程求解過程中公式的靈活應用和獨立性檢驗求解過程中的解題步驟.

例3 ?（2014年高考全國Ⅱ卷）某地區2007年至2013年農村居民家庭純收入[y]（單位：千元）的數據如下表：

[年份＼&2007＼&2008＼&2009＼&2010＼&2011＼&2012＼&2013＼&年份代號t＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&人均純收入y＼&2.9＼&3.3＼&3.6＼&4.4＼&4.8＼&5.2＼&5.9＼&]

（1）求y關于t的線性回歸方程;

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2015年農村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：[b=i=1n（ti-t）（yi-y）i=1n（ti-t）2]，[a=y-bt.]

解析 ?（1）由題意知[t=17]（1+2+3+4+5+6+7）=4，[y=17]（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，所以[b=4.2+2+0.7+0+0.5+1.8+4.89+4+1+0+1+4+9=0.5]

所以[a=y-bt=4.3-0.5×4=2.3]，

故線性回歸萬程為[y=0.5t+2.3].

（2）由（1）中的線性回歸萬程可知，[b>0]，所以在2007 至2013年該地區衣村居民家庭人均純收人在逐年增加，平均每年增加0.5千元.

令[t=9]得[y=0.5×9+2.3=6.8]，故預測該地區在2015年農村居民家庭人均純收人為6.8千元 .

點撥 ?本小題主要考查線性回歸方程的解法等基礎知識，屬中檔題目，考查同學們分析問題與解訣問題的能力.

古典概率與抽樣方法結合

本內容主要是考查統計中的幾種抽樣方法.特別注意辨別系統抽樣、簡單隨機抽樣和分層抽樣的適用范圍和操作步驟.

例4 ?（2014年高考湖南卷）對一個容量為[N]的總體抽取容量為[n]的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為[p1，p2，p3]，則（ ? ）

A. [p1=p2

C. [p1=p3解析 ?簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等，即[p1=p2=p3].

答案 ?D