圖象題解法探究

王勇

識 ?圖

給出解析式或文字語言描述，要求同學們讀懂題意，緊扣函數的性質，如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等，有時還需借助函數的零點、特殊點對應的函數值、導數知識、極限思想等.此類問題結合選擇支利用排除法不難找出正確答案.

例1 ?（2014年高考江西卷）在同一直角坐標系中，函數[y=ax2-x+a2]與[y=a2x3-2ax2+x+a（a∈R）]的圖象不可能的是（ ? ）

[A ? B C D]

命題意圖 ?本題考查函數圖象的識別，意在考查考生利用所學知識分析問題、解決問題的能力.

解析 ?（1）令[a=0]，則函數[y=ax2-x+a2]與[y=a2x3-2ax2+x+a]分別為[y=-x]與[y=x]，對應的圖象是選項D中的圖象.

記[f（x）=ax2-x+a2]，[g（x）=a2x3-2ax2+x+a]，

（2）取[a=12]，則[g（0）>f（0）>0].

而[f（x）=12x2-x+14=12（x-1）2-14]，令[g（x）=0]，得[x=23，2]，易知[g（x）]在區間[（-∞，23）]和[（2，+∞）]上單調遞增，在區間[（23，2）]上單調遞減，

所以[g（x）]的極小值為[g（2）=12].

又[f（2）=14]，所以[g（2）>f（2）]，所以選項A中的圖象有可能.

（3）取[a=2]，則[g（0）>f（0）>0]，令[g（x）=0]，得[x=16，12]，易知[g（x）]在區間[（-∞，16）]和[（12，+∞）]上單調遞增，在區間[（16，12）]上單調遞減.

所以[g（x）]的極小值為[g（12）=2].

又[f（12）=1]，

所以[g（12）>f（12）]，所以選項C中的圖象有可能. 利用排除法可知，本題應選B.

點撥 ?給出函數解析式判斷函數的圖象是近幾年高考的重點和熱點，多數需要利用導數研究函數的單調性判斷其變化趨勢，或者利用導數求極值（最值）來研究函數零點.

釋 ?圖

利用所給的函數圖象（或部分函數圖象），通過觀察、探究揭示其蘊含的代數意義或幾何意義，再結合有關數學知識可順利解決問題.

例2 ?（2014年高考湖北卷）如圖1所示，函數[y=f（x）]的圖象由兩條射線和三條線段組成. 若[?x∈R]，[f（x）>f（x-1）]，則正實數[a]的取值范圍為 ? ? ? ? ?.

圖1

命題意圖 ?本題考查函數的性質，函數圖象的平移以及恒成立問題，意在考查考生應用數形結合思想解決問題的能力.

解析 ?“[?x∈R，fx>fx-1]”等價于“函數[y=fx]的圖象恒在函數[y=fx-1]的圖象的上方”，函數[y=fx-1]的圖象是由函數[y=fx]的圖象向右平移1個單位而得到，如圖2所示，要使[?x∈R，][fx>fx-1]，則[3a--3a<1]，解得[a<16]，又[a]為正實數，故[a]的取值范圍為[0，16].

圖2

點撥 ?透徹領悟“[?x∈R，fx>fx-1]”的含義是解題的突破口，把不等式恒成立問題轉化為圖象的位置關系問題是快速求解的關鍵.

例3 ?（2014年高考陜西卷）如圖3，修建一條公路需要一段環湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）. 已知環湖彎曲路段為某三次函數圖象的一部分，則該函數的解析式為（ ? ）

[ 圖3]

A. [y=12x3-12x2-x] ? ?B. [y=12x3+12x2-3x]

C. [y=14x3-x] ? ? ? ? D. [y=14x3+12x2-2x]

命題立意 ?本題考查考生運用函數知識解決實際問題的能力和對圖形的觀察能力. 本題可采用檢驗的方法，也可根據已知條件逐步進行求解.

解法一 ?由題意可知，該三次函數滿足以下條件：過點[（0，0）]，[（2，0）]，在[x∈（π2，π]]處的切線方程為[y=-x]，在[（2，0）]處的切線方程為[y=3x-6]，以此對選項進行檢驗. A選項，[y=12x3-12x2-x]，顯然過兩個定點[（0，0）]，[（2，0）]，又[y=32x2-x-1]，則[yx=0=-1]，[yx=2=3]，故條件都滿足，由選擇題的特點知應選A.

解法二 ?設該三次函數為[f（x）=ax3+bx2+cx+d]，則[f（x）=3ax2+2bx+c].

由題設有[f（0）=0?d=0，f（2）=0?8a+4b+2c+d=0，f（0）=-1?c=-1，f（2）=3?12a+4b+c=3，]

解得[a=12]，[b=-12]，[c=-1]，[d=0].

所以該函數的解析式為[y=12x3-12x2-x]，故選A.

點撥 ?三次函數是高中階段的一類重要函數，其圖象和性質需要利用導數來解決，其導函數為二次函數，而二次函數在函數學習中起著重要作用，需要熟練掌握.

譯 ?圖

給出圖形，要求考生用另外的圖象去“轉譯”此圖形所蘊含的豐富信息.解決這類問題的基本步驟如下.

題示樣圖[仔細觀察轉譯含義]代數意義[以圖達意展現新貌]確定新圖

例4 ?（2014年高考新課標Ⅰ卷） [ 圖4]如圖4，圓[O]的半徑為1，[A]是圓上的定點，[P]是圓上的動點，角[x]的始邊為射線[OA]，終邊為射線[OP]，過點[P]作直線[OA]的垂線，垂足為[M]. 將點[M]到直線[OP]的距離表示成[x]的函數[f（x）]，則[y=f（x）]在[0，π]上的圖象大致為（ ? ）

A ? ? ? ? ?B ? ? ? ? ? C ? ? ? ? ? D

命題意圖 ?本題考查建立函數解析式及函數的圖象，意在考查考生譯圖、用圖的能力.

解析 ?由題意知，[f（x）=cosx?sinx][=12|sin2x|]，其周期為[T=π2，]最大值為[12]，最小值為0. 結合選擇支可知本題應選B.

點撥 ?在選擇題中，圖象問題常用到函數的奇偶性、單調性、極值、特殊點處的函數值等.

用 ?圖

華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非”. 有些題若能借助圖象直觀去解，即數形結合，則可收到事半功倍的效果.

例5 ?（2014年高考重慶卷）已知函數[f（x）=][1x+1-3， ?x∈-1，0，x， ? x∈0，1，]且[g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且僅有兩個不同的零點，則實數[m]的取值范圍是（ ? ）

A. [-94，-2?0，12] ? ? B. [-114，-2?0，12]

C. [-94，-2?0，23] ? ? D. [-114，-2?0，23]

命題意圖 ?本題考查分段函數、函數的零點、斜率公式及利用函數圖象求解參數的取值范圍，意在考查考生綜合運用函數圖象求解函數零點問題，運用函數與方程思想、數形結合思想、等價轉化思想解答問題的能力和計算能力.

解析 ?[g（x）=f（x）-mx-m]在[-1，1]上有且僅有兩個不同的零點就是函數[y=f（x）]的圖象與函數[y=m（x+1）]的圖象有且僅有兩個不同的交點， [ 圖5]在同一直角坐標系中作出函數[f（x）=1x+1-3， ?x∈-1，0，x， ? x∈0，1]和函數[y=m（x+1）]的圖象，如圖5所示.

當直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3， ?x∈-1，0]和[y=x， ? x∈0，1]都相交時，[0

當直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3， ?x∈-1，0]有兩個交點時，由方程組[y=m（x+1），y=1x+1-3，]消去[y]得[mx2+（2m+3）x+m+2=0]，當[Δ=9+4m=0]，即[m=-94]時，直線[y=m（x+1）]與[y=1x+1-3]相切，當直線[y=m（x+1）]過點[（0，-2）]時，[m=-2]，所以[m∈-94，-2].

綜上，實數[m]的取值范圍是[-94，-2?0，12].

答案 ?A

點撥 ?在求解函數零點問題時往往要轉化為兩曲線的交點個數問題，需要先畫出函數的圖象，本題中在畫分段函數的圖象時要注意自變量的取值范圍，在函數的定義域內畫圖，再利用直線[y=m（x+1）]過定點[（-1，0）]，通過轉動直線判斷何時有兩個交點，利用分界點處直線的斜率求解范圍.

例6 ?（2014年高考天津卷）已知函數[f（x）=][x2+3x，x∈R]. 若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4個互異的實數根，則實數[a]的取值范圍為 ? ? ? ? .

命題意圖 ?本題主要考查函數的零點、函數的性質、直線與拋物線的位置關系等知識，意在考查考生的轉化與化歸、數形結合、分類討論等數學思想，以及運算求解能力. [1 2 3 4 5][-5 -4 -3 -2 -1][-1][13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1] [ 圖6]

解析 ?畫出函數[f（x）=x2+3x]的大致圖象，如圖6所示.

令[g（x）=ax-1]，則函數[f（x）]的圖象與函數[g（x）]的圖象有且僅有4個不同的交點，顯然[a>0].

聯立[y=-x2-3x，y=a（1-x），]消去[y]，得[x2+（3-a）x+a=0]，

由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=1]或[a=9]（舍去），由圖象可知，當[0

聯立[y=x2+3x，y=a（x-1）]消去[y]得，[x2+（3-a）x+a=0].

由[Δ=（3-a）2-4a=0?a2-10a+9=0?a=9]或[a=1]（舍去），由圖象可知，當[a>9]時，函數[f（x）]的圖象與函數[g（x）]的圖象有且僅有4個不同的交點.

綜上所述，若方程[f（x）-ax-1=0]恰有4個互異的實數根，則實數[a]的取值范圍為[（0，1）?（9，+∞）].

點撥 ?正確畫出函數[f（x）=x2+3x]和[g（x）=ax-1]的圖象是解題的關鍵，其中函數[g（x）=ax-1]的圖象是過點[（1，0）]的折線.