動(dòng)能定理的三點(diǎn)應(yīng)用

徐高本

動(dòng)能定理表達(dá)式是由牛頓第二定律F=ma和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出來(lái)的，但它的應(yīng)用范圍卻廣泛得多。

1.若是恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不涉及加速度和時(shí)間，用動(dòng)能定理求解一般比用牛頓運(yùn)動(dòng)定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式簡(jiǎn)便。

例1 在海濱游樂(lè)場(chǎng)里有一種滑沙的游樂(lè)活動(dòng)。如圖1所示，人坐在滑板上從斜坡的高處由靜止開(kāi)始滑下，滑到斜坡底端B點(diǎn)后沿水平的滑道再滑行一段距離到C點(diǎn)停下來(lái)。若某人和滑板的總質(zhì)量m=60.0kg，滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，大小為μ=0.50，斜坡的傾角θ=37°。斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空氣阻力忽略不計(jì)，重力加速度g取10m/s²。若出于場(chǎng)地的限制，水平滑道的最大距離為L(zhǎng)=20.0m，則人在斜坡上滑下的距離AB應(yīng)不超過(guò)多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析

根據(jù)動(dòng)能定理得：mgsinθS_AB-。即AB不應(yīng)超過(guò)50m。

點(diǎn)評(píng)

此題也可以用牛頓第二定律與勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求解，但用動(dòng)能定理求解比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解更方便。

2.應(yīng)用于變力作用的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

如果所研究的問(wèn)題中有多個(gè)力做功，其巾只有一個(gè)力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計(jì)算，研究對(duì)象本身的動(dòng)能的增量也比較容易計(jì)算時(shí)，巧用動(dòng)能定理就可以靈活求出這個(gè)變力所做的功。

例2 如圖2所示，質(zhì)量為，m的物體置于光滑水平面上，一根繩子跨過(guò)定滑輪一端固定在物體上，另一端在力F作用下，以恒定速率νo豎直向下運(yùn)動(dòng)，物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到繩與水平方向夾角θ=45°的過(guò)程中，繩中拉力對(duì)物體做的功為（）。

物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，繩中拉力對(duì)

物體是變力，所做的功等于物體增加的動(dòng)能。物體運(yùn)動(dòng)到繩與水平方向夾角θ=45°時(shí)的速率設(shè)為ν，有νcos45°=νo，則。所以繩的拉力對(duì)物體做的功為。答案為B。

點(diǎn)評(píng)

本題涉及運(yùn)動(dòng)的合成與分解、功、動(dòng)能定理等多方面知識(shí)，要求我們理解動(dòng)能定理的含義，并能夠應(yīng)用矢量的分解法則計(jì)算瞬時(shí)速度。

例3 如圖3，靜置于光滑水平面上坐標(biāo)原點(diǎn)處的小物塊，在水平拉力F作用下，沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，拉力F隨物塊所在位置坐標(biāo)x的變化關(guān)系如圖4所示，圖像為半圓。則小物塊運(yùn)動(dòng)到x₀處時(shí)的動(dòng)能為（）。

解析

由于水平面光滑，所以拉力F即為合外力，F(xiàn)隨位移x的變化圖像包圍的面積即為F做的功，設(shè)x₀處的動(dòng)能為E_k，由動(dòng)能定理得，由圖知x₀=2F_m，故，所以選項(xiàng)C正確。

3.應(yīng)用于分析多過(guò)程運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。

在用動(dòng)能定理解題時(shí)，如果物體在某個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中包含有幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過(guò)程（如加速、減速的過(guò)程），可以分段考慮，也可以全程考慮，如能對(duì)整個(gè)過(guò)程列式，則可使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例4 如圖5所示的裝置由AB、BC、CD三段軌道組成，軌道交接處均巾很小的圓弧平滑連接，其中軌道AB、CD段是光滑的，水平軌道BC的長(zhǎng)度s=5m，軌道CD足夠長(zhǎng)且傾角θ=37°，A、D兩點(diǎn)離軌道BC的高度分別為h₁=4.30m、h₂=1.35m。現(xiàn)讓質(zhì)量為m的小物塊自A點(diǎn)由靜止釋放。已知小物塊與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：

（1）小物塊第一次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大小；

（2）小物塊第一次與第二次通過(guò)C點(diǎn)的時(shí)間間隔；

（3）小物塊最終停止的位置距B點(diǎn)的距離。

解析

（1）對(duì)于小物塊從A到B到C再

到D的過(guò)程由動(dòng)能定理得：

將，h₁、h₂、s、μ、g代人得：V_D=3m/s。

（2）對(duì)于小物塊從A到B再到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

將代入得：。

小物塊沿CD段上滑的加速度大小

小物塊沿CD段上滑到最高點(diǎn)的時(shí)間

由于對(duì)稱(chēng)性可知小物塊從最高點(diǎn)滑回C點(diǎn)的時(shí)間t₂=t₁=ls。

故小物塊第一次與第二次通過(guò)C點(diǎn)的時(shí)間間隔t=t₁+t₂=2s。

（3）對(duì)小物塊運(yùn)動(dòng)全過(guò)程利用動(dòng)能定理，設(shè)小滑塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為s總，有。將，代入得

故小物塊最終停止的位置距B點(diǎn)的距離為2sS_總=1.4m。

點(diǎn)評(píng)

動(dòng)能定理反映的是物體兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能變化與在這兩個(gè)狀態(tài)之間外力所做總功的量值關(guān)系，應(yīng)用動(dòng)能定理解答運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，只需要考慮力在整個(gè)位移內(nèi)做的功和這段位移始末兩狀態(tài)的動(dòng)能變化，無(wú)需注意物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)軌跡及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的細(xì)節(jié)。

例5 如圖6所示，AB與CD為兩個(gè)對(duì)稱(chēng)斜面，其上部都足夠長(zhǎng)，下部分別與一個(gè)光滑的圓弧面的兩端相切，圓弧的圓心角為120°，半徑R=2.0m，一個(gè)物體在離弧底E高度為h=3.0m處，以初速度沿斜面運(yùn)動(dòng)，若物體與兩斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.02，則物體在兩斜面上（不包括圓弧部分）一共能走多少路程？（g=1Om/s2）

解析

由于物體在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物體的機(jī)械能將逐漸減少，最后物體在BEC圓弧上做永不停息的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，即物體運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)或C點(diǎn)時(shí)速度均為O。由于在物體只在BEC圓弧上做永不停息的往復(fù)運(yùn)動(dòng)之前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力所做的功為，摩擦力所做的功為，由動(dòng)能定理得

解得s=280 m。

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于物體來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，若能由動(dòng)能定理對(duì)整個(gè)過(guò)程列式求解，可以不考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程的細(xì)節(jié)，能大大簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算。

跟蹤練習(xí)：

1.如圖7，汽車(chē)通過(guò)輕質(zhì)光滑的定滑輪，將一個(gè)質(zhì)量為m的物體從井中拉出，繩與汽車(chē)連接點(diǎn)距滑輪頂點(diǎn)高h(yuǎn)，開(kāi)始繩繃緊，滑輪兩側(cè)的繩都豎直，汽車(chē)以νo向右勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到跟汽車(chē)連接的細(xì)繩與水平方向夾角θ=30°，則（）。

A.從開(kāi)始到繩與水平方向夾角為30°時(shí)，拉力做功mgh

B.從開(kāi)始到繩與水平方向夾角為30°時(shí)，拉力做功

C.從開(kāi)始到繩與水平方向夾角為30°時(shí)，拉力做功

D.在繩與水平方向夾角為30°時(shí)，繩對(duì)滑輪的作用力為

參考答案：1.B。