巧妙引入?yún)?shù)，求解平面向量問題

胡彬

我們知道引入?yún)?shù)可以構造函數(shù)、方程及不等式，并且通過構造函數(shù)、方程及不等式可以解決求值及求范圍問題，而在這其中常用到待定系數(shù)法。平面向量中的向量平行、三點共線、點的軌跡、最值問題都可以利用待定系數(shù)法，從而轉化為方程求解。

一、三點共線背景下引入?yún)?shù)

例1 如圖1，向量，設M是直線OP上的一點（O是坐標原點）。

（l）求使取最小值時的。

（2）對（1）中求出的點M，求∠AMB的余弦值。

分析：M是直線OP上的一點，可設，并將表示成λ的函數(shù)。

解：（l）因為O，P，M三點共線，所以設，則，當λ=2時，取最小值，這時

（2）由，可得

點評

上述解法的“點睛”之處就是根據(jù)O，P，M三點共線引入?yún)?shù)λ，將向量問題轉化為關于λ的函數(shù)20λ+12，從而可以利用函數(shù)求最值。

二、平面向量基本定理背景下引入?yún)?shù)

例2

如圖2，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN一2NC，AM與BN相交于點P，求AP：PM的值。

分析：選擇一組適當?shù)南蛄孔骰祝眠@組基底可表示平面內的有關向量，再由向量共線條件列出等式，用待定系數(shù)法求解。

因為BC和AC上有已知分點，所以選向量BM和CN為一組基底。

解：設，則

因為點A，P，M和點B，P，N分別共線，所以存在實數(shù)λ，μ使得

所以

又，所以由平面向量基本定理得，所以，即AP：PM=4：1。

點評

基底建模是向量法解決幾何問題的一種重要方法，其關鍵在于選取的基底是否合適，選好基底就是邁出了成功的第一步。

三、點的軌跡背景下引入?yún)?shù)

例3 平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中a，β∈R，a+β=l，則點C的軌跡方程為（）。

A.3x+2y-ll=0

C.2x-y=O

D.x+2y-5=0

分析：求軌跡方程的基本思路就是設點列方程。由題設條件“點C滿足，其中a，β∈R，a+β=l”，可知點C的軌跡為一條直線，即A，B，C三點共線。利用方程a+β=l把點C（x，y）的坐標聯(lián)系在一起，即可得到點C的軌跡方程。

解：設。由（3a-β，a+3β），可得（x，y）=（3a-β，a+3β）. 所以，解得

因為α+β=1，所以x+2y-5=0，應選D。

點評

上述解法體現(xiàn)了向量法和坐標法的相互關系及轉換方法。由本題可得到一個一般性的結論：若點C滿足，其中α，β∈R，α+β=1，則點C的軌跡方程為過A，B的一條直線。