平面向量的坐標應用

徐文暉

向量的坐標反映的是向量的大小和方向，引入向量的坐標可使向量運算完全代數化，將數與形緊密結合起來，使得用向量求解有關問題會更加方便。下面舉例分析，供大家參考。

一、平面向量的坐標運算

例1 已知三點A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），用坐標表示向量

解：由，可得

評析：向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行的。

二、向量平行的坐標表示

側2 已知A，B，C三點的坐標分別為（-l，

求證：

證明：由題意得

設點E，F的坐標分別為

因為，所以，可得

由，可得。

評析：若向量，滿足（或），則a∥b。

三、三點共線問題

__.________

例3 已知16），求證：A，B，C三點共線。

證明：（-2，-4）。

由4×（-4）-8×（-2）=0，可知，又它們有公共點B，所以A，B，C三點共線。

例4 在平面直角坐標系xOy中，點A（4，O），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點P的坐標。

解：設點P的坐標為（x，y）。

由，得4x-4y=O，即x-y=0 ①。

由，且，可得-6×（x-2）-2×（y-6）=0，即3x+y-12=0②。

由①②解得即點P的坐標為（3，3）。

評析：A，B，C三點共線<=>與共線。

四、利用向量的坐標解決平面幾何問題

例5 已知點A（2，3），B（5，4），C（7，lO）及

（l）當λ為何值時，點P在第一、三象限的角平分線上？

（2）若點P在第三象限內，求λ的取值范圍。

（3）四邊形ABCP能為平行四邊形嗎？若能，求出相應的λ值；若不能，請說明理由。

解：設點P的坐標為（x，y），則y-3）。

由，得（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7），所以即可得點P的坐標為（5λ+5，7λ+4）。

（l）當點P在第一、三象限的角平分線上時，5λ+5=7λ+4，解得。

（2）當點P在第三象限時，可得解得λ<-1，即A的取值范圍為（一∞，-l）。

（3）。若四邊形ABCP為平行四邊形，則，即得方程組可知此方程組無解，所以四邊形ABCP不能為平行四邊形。

評析：找到點P的坐標與λ的關系是解答本題的關鍵。