淺談“整體處理法”在向量問(wèn)題中的應(yīng)用

馮克永 胡家權(quán)

北宋文豪蘇東坡有句形容廬山的名句：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。他那全面而辯證的哲理、含蓄而雋永的思辨能力，完全適用于數(shù)學(xué)解題，即從宏觀上進(jìn)行整體分析，抓住問(wèn)題的框架結(jié)構(gòu)和本質(zhì)關(guān)系，運(yùn)用“塊狀”思維，把一些貌似獨(dú)立而實(shí)質(zhì)上又緊密聯(lián)系的“量”視為整體，則常常能出奇制勝，找到簡(jiǎn)捷解法。下面結(jié)合實(shí)例，淺談“整體處理法”在向量問(wèn)題中的應(yīng)用。

例1 已知a，b是單位向量，a·b=0。若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是（）。

解：由題意可得|（c-a-b）+（a+b）|。由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，可得，選A。

點(diǎn)評(píng)

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，對(duì)所求問(wèn)題進(jìn)行整體處理，使得解題過(guò)程簡(jiǎn)潔明了。

例2 在平面上，。若，則的取值范圍是（）。

解：尋找之間的關(guān)系是解題的突破口。由，可知四邊形為矩形，所以，兩式相加得，可得。因?yàn)?，所以，可得，選D。

點(diǎn)評(píng)

本題動(dòng)點(diǎn)多，不易下手，但通過(guò)整合條件，可發(fā)現(xiàn)四邊形為矩形，由其對(duì)角線性質(zhì)得，再將兩式平方相加是破解此題的神來(lái)之筆，值得回味。

例3 在△ABC中，

解：向量的運(yùn)算性質(zhì)：①；②，兩式相加可得，所以，解得

點(diǎn)評(píng)

利用余弦定理和解方程的思想也可以求解此題，但總體上沒(méi)有利用運(yùn)算性質(zhì)①②求解簡(jiǎn)便。

例4 若平面向量a，b滿足|2a-b|≤3，則a·b的最小值是______。

解：利用向量的運(yùn)算性質(zhì)4a·b求解。

由4×2a·b=，即得a·（當(dāng)且僅當(dāng)b=-2a時(shí)不等式取“=”號(hào)）。所以a·b的最小值是。

點(diǎn)評(píng)

巧用向量的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行整體處理，凸顯向量模的價(jià)值，也使得問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)潔。

例5 在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C 所對(duì)的邊長(zhǎng)，a=4，b=5，c=6，I為△ABC的內(nèi)心，求的值。

解：。要求及的運(yùn)算量較大，可利用“整體處理法”求的值。

如圖1，過(guò)點(diǎn)I分別作ID⊥AB，IE⊥AC，IF⊥BC，其點(diǎn)D，E，F(xiàn)為垂足，則cos∠IAB。由三角形內(nèi)切圓的切線性質(zhì)可得，解得，所以

點(diǎn)評(píng)

此題將向量的數(shù)量積整體化歸為切線長(zhǎng)，再利用切線長(zhǎng)定理求解，其方法獨(dú)特，避繁就簡(jiǎn)。