平面向量中的數學思想方法

周其潔

平面向量中的數學思想方法是解決平面向量問題的主要思想方法。下面舉例說明，供大家參考。

一、化歸思想

側1 若α，β∈0，π），求滿足cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2的α，β值。

解：原等式化為（1-cosβ）cosα+sinβsinα=構造向量α=（1-cosβ，sinβ），b=（cosα，sina）。

由，可得

由，可得，即，所以，即得。同理可得。故。

評析：向量的引入大大拓寬了本題的解題思路，利用向量這個工具解題，可以簡捷、規范地處理三角函數中的許多問題。

二、函數與方程思想

例2 已知向量a，b不共線，，若A，B，D三點共線，求實數k的值。

解：因為而a與b不共線，所以。

又A，B，D三點共線，所以共線。由兩個向量共線，可知存在實數A，使得，即2a+kb=λa-4λb。

因為向量a與b不共線，所以由平面向量基本定理可得

評析：利用兩個向量共線的條件與平面向量基本定理解題，其實質是解二元一次方程組問題。

三、分類討論思想

側≥ 試確定由向量所作的△ABC，它的一個角為直角時的k值。

解：①當A為直角時，由，得2×。②當B為直角時，，由，得2×，即。③當C為直角時，由，即

綜上可知，或或

評析：解此題時有些同學容易考慮不周，以偏概全，只解一種情況（即A為直角時），應引起大家注意。

四、數形結合思想

例4 求，的值。

解：如圖1所示，將邊長為1的正七邊形ABCDEFG放入直角坐標系中，則AB=（1，O），

由，可得

評析：向量具有幾何和代數的雙重身份，是中學數學知識的一個交匯點。本題用平面向量的幾何意義求三角函數的值，其解題思路直觀，解法簡捷。