牛頓第二定律中a與F/m成正比的推理

王琴平

一、引言

牛頓第二定律是高一物理最重要的規律之一，它是聯系力學與運動學的重要橋梁。對于牛頓第二定律規律的教學，大部分老師都是把只它看做實驗規律，并要求同學們記住該結論，或默認它的正確性再采用控制變量法去驗證它。然而，這并不符合我們認識自然規律的一般過程。對于陌生的未知規律，它的呈現形式有多種可能性。對于未知的規律，我們往往是從經驗和已有認知的基礎上先對其進行合理的猜想，再通過數學邏輯推理或實驗的方法去驗證我們的猜想是否正確。

二、猜想與探究實驗

在闡述牛頓第二定律之前有兩個重要的探究實驗，第一個是探究加速度與質量的關系，第二個探究加速度與合外力的關系。從生活經驗的角度出發，我們很容易看出如果用相同的合外力分別啟動火車、汽車、摩托車，他們獲得的加速度不同，質量最小的摩托車獲得加速度最大，質量較大的火車獲得的加速度最小，因此我們猜想在合外力相同的情況下，加速度和質量成反比。對于同一種車，用不同大小的合力去啟動，合力越大，獲得的加速度越大，由此我們猜想，在質量不變的情況下，加速度和合力成正比。通過大量的實驗也驗證了我們猜想的正確性。

三、數學推理

然而，我們通過實驗驗證加速度a與質量m成反比，與合力F成正比后，我們并不是很輕易的可以得出a與F/m成正比的結論。從學生初中的數學知識儲備出發，加速度a與質量m成反比，可寫成數學表達ma=k1 ①（其中k1和m無關）

加速度與合外力成正比，可寫成數學表達a=k2 F ②

（其中k2和F無關）

聯立 ① ② 我們可以得到ma2=k1k2 F，a2=k1k2 F/m

似乎得到a2與F/m 成正比的結論，而與粵教版教材91頁中的a與F/m 成正比的結論相違背。難道是牛頓第二定律的結論錯了么？

牛頓第二定律沒錯，而是我們推導時容易忽視隱含信息，其中k1是和m無關，但卻是合力F的函數，在F一定的情況下，k1 才是確定的。而k2和F無關，但卻是m的函數，只有在m一定的情況下，k2才是確定的。因此，當m或F在變化的時候，k1k2 不再是與F/m無關的常數。因此不能得出a2與F/m 成正比的結論。那要怎樣就能得出a與F/m 成正比的結論呢？

生活經驗告訴我們加速度a是合外力F和質量m的二元函數，由此a=f（F，m），由實驗規律：在質量一定的情況下，加速度與合力成正比，我們可以得到a=g（m）F （g（m）是關于質量的函數，與F無關）;

由實驗規律：在合力一定的情況下，加速度與質量成反比，我們可以得到：a=h（F）/m （h（F）是合外力的函數，與m無關）;

由此我們得到 g（m）m=h（F）/F

方程左邊與F無關，式子右邊與m無關。

那么我們可以得出結論g（m）m=h（F）/F=k

（其中k是和m、F均無關的常數）

由此我們可以求出g（m）= k/m，h（F）=kF，因此a=kF/m

即加速度a與F/m 成正比，教材結論正確。