學生先行、師生交流、教師斷后

柳靜

教學目標：了解直線與橢圓的交點個數與方程組的解的對應關系，能利用判別式研究直線與橢圓之間的位置關系。掌握直線與橢圓的簡單問題的基本解法。

教學重點：研究直線與橢圓之間的位置關系，弦長公式推導。

教學難點：直線與橢圓的有關綜合問題的解法。

教學方法：啟發式

教具：多媒體、幾何畫板

教學過程：

一、復習回顧

（1）回顧直線與圓有幾種位置關系？

（2）如何判斷直線和圓的位置關系？

預設回答：

預設1：畫圖，觀察交點個數。

預設2：將兩條方程聯立后計算判別式△，看△與0的大小。

學生活動：學生思考口答完成。

設計思想：復習鞏固知識，為新課做準備。

二、探究新知

你覺得直線與橢圓有幾種位置關系？有何依據？

學生活動：學生獨立完成。

設計思想：通過實際操作感知直線與橢圓的三種位置關系。

問2：直線y=x+3.1與橢圓有怎樣的位置關系？

引導學生由形到數，尋找到第二種判斷方法（聯立方程求判別式）。

預設回答：

預設1：畫圖看好像是相切的，但是不太確定。

預設2：通過聯立求判別式。

學生活動：學生獨立完成，討論。

設計思想：讓學生感受通過畫圖不易確定關系，進而尋找新的方法。

例：已知橢圓，直線y=x+m：

（1）當m為何值時，直線l與橢圓相切、相交、相離。

（2）當m=4時，橢圓上是否存在一點P，它到直線L的距離最小，最小距離是多少？

（3）當m=2時，直線l與橢圓相交于A、B兩點，求|AB|的長。

（4）若直線l：y=kx+b與橢圓相交于A、B兩點，求|AB|的長。

學生活動：學生獨立完成

設計思想：對新學知識的鞏固、尋求解決問題的方法，轉化為兩平行直線間的距離求解。

推導弦長公式：通過此題，解決弦長問題的方法。

（1）求交點坐標，用兩點間距離公式。

（2）設而不求，韋達定理求弦長。

學生活動：學生獨立完成、討論并嘗試自己推導弦長公式。

設計思想：感受解析幾何的計算量、并體驗取得成功的喜悅。

練習：過（0，2）的直線m，與橢圓交于A，B兩點，弦長AB=，求直線m的方程。

學生活動：學生獨立完成

設計思想：鞏固所學知識，再次體驗成功。

三、小結

（1）直線與橢圓的三種位置關系。

（2）直線與橢圓的三種位置關系的判斷方法。

（3）弦長的計算方法。

學生活動：學生歸納、總結

設計思想：讓學生回顧本節課內容，總結提煉所學知識和思想方法。

四、作業布置

（1）經過橢圓的左焦點F1作傾斜角為60°的直線l，直線l與橢圓相交于A，B兩點，求AB的長。

（2）已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.

①當直線和橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍。

②求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程。

探究題：

（1）已知橢圓的方程為+y2=1，直線l：y=kx（k>0）與橢圓交于E，F兩點，A，B分別是橢圓的右頂點和上頂點，求四邊形AFBE面積的最大值。

（2）已知雙曲線E的中心為原點，F（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程。

設計思想：通過練習，加深對本節內容的認識，培養學生應用知識，獨立解決問題的能力。

教學反思：

（1）直線與橢圓的位置關系的教學中，學生的邏輯起點是直線與圓的位置關系，因此本節的內容是在直線與圓的位置關系判斷的基礎上的一種用類比的思想來思考問題，解決問題，學生很輕松就能得出結論，從而突破本節課的第一個難點。

（2）新課標下的數學強調人人學有價值的數學，人人學有用的數學，為此在小練習后，我及時的加以方法的歸納和思想的提煉，讓學生在今后解決問題時，能很容易找到題目的切入點。

專家點評：

本節課從創設情境到學生自主探索，再到知識的歸納總結，時間分配合理，重點突出，過渡自然，環環相扣，引人入勝。

（1）以新課程理念為指導，以“問題串”為導向來設計教學環境，不斷地向學生提供參與數學活動的機會，教師幷加以適當引導，幫助學生在自主探索和合作交流過程中真正理解和掌握本節內容，充分地體現了“以學生為主體，教師為主導”的教學思想，取得了較好的教學效果。

（2）本節課老師非常尊重學生的思維活動和自主探究。舍得給學生想的時間、說的機會以及展示思維過程的舞臺。

（3）注重學生個性發展。根據課標要求，本節課在教學設計上，從簡單的問題入手，層層深入，使得不同層次的學生都能得到相應的訓練，并獲得成功的體驗；此外，在課外作業的處理上，除了布置書本作業為必做題外，還布置了探究題，為學有余力的學生提供了進一步發展的空間。