基于幾何畫板的圓錐曲線統一性的實驗探究

潘穎藝

《高中數學課程標準》指出：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”基于幾何畫板的圓錐曲線統一性的探究，就是通過學生自己動手做數學實驗，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、演繹證明、反思與建構等思維過程，親身體驗數學“再創造”過程，在探究中，不僅學會證明，也學會猜想.

下面以人教版《數學》選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》為例，嘗試作以下三個方面的實驗探究.

1. 圓錐曲線生成過程的動態模擬實驗，直觀地展示圓錐曲線形成的統一性

大家知道，用一個垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線是一個圓.那么，改變平面與圓錐軸線的夾角，將得到什么圖形呢？

早在古希臘，阿波羅尼奧斯用同一個（正的或斜的）圓錐的截面來研究圓錐曲線，并發現雙曲線有兩支，而且在他的《圓錐曲線論》中引入拋物線（齊曲線）、橢圓（虧曲線）和雙曲線（超曲線）的名稱.

現在，嘗試利用幾何畫板軟件模擬生成圓錐曲線的動態軌跡.

教師指導學生制作動態課件，一系列繁瑣的制作步驟，精細的尺規作圖，以及制作中觀察、思考、合作交流和討論，學生就像“數學家”一樣，親身經歷圓錐曲線產生、形成的全過程，體會跌跤中如何摸索前進，以及頑強地探究他們所攻問題的勇氣.課件完成后，學生動手拖動平面M′N′N（如圖1所示），教師及時引導學生觀察：截面M′N′N與圓錐軸線的夾角大小不一樣時，得到不同的截口曲線，即圓、橢圓、拋物線、雙曲線.從直觀感知、操作確認，加深對曲線的不同形狀的理解.

因此，圓錐曲線形成的模擬實驗，學生不僅追尋圓錐曲線生成的歷史足跡，而且感受到圓錐曲線的“統一美”.

2. 從三種圓錐曲線各自的定義到統一的定義的多元表征，再次領悟圓錐曲線的發展過程的統一美

平面內到定點的距離等于定長的動點的軌跡是圓.那么，平面內到兩個定點F1，F2的距離的和等于常數2a（大于|F1F2|）的點的軌跡是橢圓嗎？打開幾何畫板軟件，能否用尺規作圖的方法獲取軌跡呢？

作定圓F1，半徑為定長r，點F2是圓內的一個定點，點P是圓上任意一點，線段PF2的垂直平分線和直線PF1相交于點Q，當點P在圓F1上運動時，標記點Q的軌跡.如圖2所示.

觀察：繪制的點Q的軌跡是一個橢圓；利用幾何畫板的度量功能，列出圖3中表格數據后再次發現：當點P在圓F1上運動時，QF1 + QF2 = 3.93，并且常數3.93始終保持不變，符合橢圓的定義.

思考：（1）當點F2在圓內移動時，QF1 + QF2是否仍保持某一個常數不變呢？

（2）是否不管r多大，總是可以作出橢圓呢？（讓學生測量|PF1|和|F1F2|的長度，加深對條件2a > |F1F2|的認識）那么，如何證明點Q的軌跡是一個橢圓？

探究：慢慢地拖動點F2到圓F1外，觀察這個過程軌跡怎樣變化？（橢圓越來越扁，最后軌跡消失）

想一想：橢圓為什么消失呢？（此時，2a < |F1F2|，不能構成橢圓）

從圖形觀察得到，橢圓是線段PF1與線段PF2的中垂線的交點軌跡.拖動點P在圓F1上運動，線段PF1與線段PF2的中垂線始終不相交，但與線段PF1所在直線相交，表明軌跡存在，猜想：點Q的軌跡是什么呢？

此時，結合橢圓探究過程，采用類比推理方法，獲取如圖4所示的雙曲線.

繼續探究（極限化）：若圓的半徑取無窮大（圓周近似為一條直線，圓心在無窮遠處），那么線段PF2的中垂線與半徑所在直線PQ的交點軌跡就是拋物線了.

因此，點F2在圓內、外位置關系的不同以及圓的大小不同，獲取了不同的曲線（橢圓、雙曲線、拋物線），實現了圓錐曲線在概念上初步的統一.

追溯數學史，歐幾里得在《幾何原本》中描述：平面內到定點F和定直線l的距離之比等于常數e的動點P的軌跡就是圓錐曲線.現在，利用軟件對該描述進行驗證和探究：（如圖5所示）

兩邊平方并化簡、整理得：（1 - e2）x2 + y2 - 2（c + e2p）x + c2-e2p2 = 0.

這就是圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）在直角坐標系中的統一方程.

綜上，從用平面去截對頂圓錐、尺規作圖畫平面曲線到曲線統一方程推導，圓錐曲線的“美”源自統一，展示出數學理性思維的“美”.

3. 圓錐曲線光學性質的應用，展示出圓錐曲線在實際應用中的“統一美”

焦點，即光線的聚集點，橢圓、雙曲線和拋物線都有焦點，因此，圓錐曲線與光有緊密的聯系.繼續利用幾何畫板軟件進行模擬實驗.

動手作圖，觀察圖6：在橢圓上任取一點Q，連接QF1，QF2，作∠F1QF2的角平分線交F1F2于點D，過點D作QD的垂線L，直觀發現：∠AQF1和∠BQF2可能相等.

利用度量功能，觀察獲取的表格數據（如圖7所示）：點Q的位置不同，∠AQF1和∠BQF2保持大小相等.

猜想：若直線L為橢圓的切線，橢圓的光學性質就得以驗證，那么，該如何證明呢？

4. 探究思考

主編寄語說：“數學是自然的.”在圓錐曲線的發現、生成、發展和應用的過程中，圓錐曲線的“統一美”實際上是水到渠成、渾然天成的產物.基于幾何畫板的圓錐曲線統一性的實驗探究，就是創設適當的實驗情境，通過“觀察”“思考”“探究”等活動的帶領，引導學生去發現問題，提出和解決問題，這也正是數學教學大力提倡的.

【參考文獻】

[1]教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數學5（必修）[M].北京：人民教育出版社，2011.