平移與旋轉在初中幾何解題中的應用

傳鵬

平移與旋轉實際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學們動手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現的內容. 題型多以填空題、計算題呈現. 在解答此類問題時，我們通常將其轉換成全等求解. 根據變換的特征，找到對應的全等形，通過線段、角的轉換達到求解的目的.

例1 （2006年江蘇省宿遷市）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′ = 30°，則∠AED′ 等于 （ ）.

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 75°

分析 由已知條件∠BAD′= 30°，易得∠DAD′= 60°.

又∵ D，D′關于AE對稱，∴∠EAD = ∠EAD′ = 30°.

∴ ∠AED = ∠AED′ = 60°.

故選C.

點評 本例考查靈活運用翻折前后兩個圖形是全等的性質的能力，解題的關鍵是發現∠EAD = ∠EAD′，∠AED = ∠AED′.

例2 如圖，正方形ABCD內一點P，∠PAD = ∠PDA = 15°，連接PB，PC，請問：△PBC是等邊三角形嗎？為什么？

分析 本題關鍵是說明∠PCD = ∠PBA = 30°，利用條件可以設想將△APD繞點D逆時針方向旋轉90°，而使A與C重合，此時問題得到解決.

解 將△APD繞點D逆時針旋轉90°，得△DP′C，再作△DP′C關于DC的軸對稱圖形△DQC，得△CDQ與△ADP經過對折后能夠重合.

∵ PD = QD，

∴ ∠PDQ = 90° - 15° - 15° = 60°.

∴ △PDQ為等邊三角形.

∴ ∠PQD = 60°.

∵∠DQC = ∠APD = 180° - 15° - 15° = 150°，

∴∠PQC = 360° - 60° - 150° = 150° = ∠DQC.

∵ PQ = QD = CQ，

∴ ∠PCQ = ∠DCQ = 15°.

∴ ∠PCD = 30°.

∴ ∠PCB = 60°.

∵ PC = BC = CD，

∴ △PBC為等邊三角形.

例3 如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，BC = 3，將腰CD以D為中心，逆時針旋轉90°至ED，連接AE，CE，則△ADE的面積是 （ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能確定

分析 解題的關鍵是求△ADE的邊AD上的高. 可先求作直角梯形的高DF，想到將△CDF繞D逆時針旋轉90°至△EDG，由EG = GF，只要求出CF的長，就可以求出△ADE的面積.

解 過D作DF⊥BC于F，過E作EG⊥AG，交AD的延長線于G.

∵∠B = 90°，AD∥BC，

∴四邊形ABFD為矩形.

∴ FC = BC - AD = 3 - 2 = 1，∠EDC = ∠FDC = 90°.

∴ ∠FDC = ∠EDG. 又∵ ∠DFC = ∠G = 90°，ED = CD，

∴ △EDG ≌ △CDF. ∴ EG = CF = 1.

∴ △ADE的面積 = ■AD·EG = ■ × 2 × 1 = 1.

因此，選擇A.

點評 明確△ADE的邊AD上的高的概念不要誤寫成DE，作梯形高是常見的解題方法之一.