高考對數(shù)學能力考查例說

孫文雙

考試大綱明確指出：數(shù)學學科的考試遵循“考查基礎知識的同時，注重考查能力”“以能力立意命題”. 這是近幾年來高考數(shù)學題遵循的原則與命題指導思想，將知識、能力和素質融為一體，全面檢測同學們的數(shù)學素養(yǎng). 考查同學們對數(shù)學基本能力的應用意識和創(chuàng)新意識，對數(shù)學本質的理解. 體現(xiàn)《課程標準》中對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等目標的要求.能力主要指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識.本文選取幾個加以說明.

數(shù)據(jù)處理能力

數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題.統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學，它可以為人們制定決策提供依據(jù)，逐漸成為一個必備常識. 統(tǒng)計的教學具有重要的地位，新課標高考對統(tǒng)計知識的考查力度得到加強.

數(shù)據(jù)處理能力考查主要表現(xiàn)在： （1）在概率統(tǒng)計中命制試題，它是把有關數(shù)據(jù)處理與概率統(tǒng)計題綜合在一起，其側重點在概率統(tǒng)計的有關知識.具體表現(xiàn)在抽樣方法、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體等.（2）在線性回歸分析中命制試題，具體表現(xiàn)在求回歸方程并由此解決其他有關問題，其側重點在最小二乘估計. 此類試題有較復雜的運算過程，同時考查運算能力.

例1 （2014年高考山東卷）乒乓球臺面被網分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個不相交的區(qū)域[A，B]，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域[C，D].某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在[C]上記3分，在[D]上記1分，其他情況記0分.對落點在[A]上的來球，隊員小明回球的落點在[C]上的概率為[12]，在[D]上的概率為[13]；對落點在[B]上的來球，小明回球的落點在[C]上的概率為[15]，在[D]上的概率為[35].假設共有兩次來球且落在[A，B]上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

（1）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；

（2）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學期望.

圖1

解析 （1）記[Ai]為事件“小明對落點在[A]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

記[Bi]為事件“小明對落點在[B]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

記[D]為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.

由題意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的獨立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）·P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為[310].

（2）由題意知，隨機變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6.

由事件的獨立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得隨機變量[ξ]的分布列為：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以數(shù)學期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

應用意識

縱觀近幾年高考試題，高考命題在“用”中必考，問題的設計多與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識聯(lián)系. 考查貼近生活、有社會意義和時代意義的應用題，立意考查“大眾”數(shù)學應用題是高考命題的一個趨勢，也是高考的一個熱點問題. 在應用題中主要考查閱讀能力、應用能力和探究能力，關注當前國內外的政治、經濟、文化，緊扣時代的主旋律，凸現(xiàn)了學科綜合的特色，是高考命題的一道亮麗風景線，其解題的關鍵在于構建適當?shù)臄?shù)學模型.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖2，為了保護河上古橋[OA]，規(guī)劃建一座新橋[BC]，同時設立一個圓形保護區(qū). 規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m. 經測量，點A位于點O正北方向60m處， 點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），[tan∠BCO=43].求新橋BC的長？

[北][東]

圖2 圖3

解析 法1：（兩角差的正切）如圖3，連結[AC]，由題意知，[tan∠ACO=617]，則由兩角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新橋[BC]的長度為[150]m.

法2：由題意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直線[BC]的斜率[k=-43]，則直線[BC]所在直線的方程為[y=-43（x-170）]. 又由[AB⊥BC]可知，[AB]所在的直線方程為[y=34x+60]；聯(lián)立方程組[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即點[B（80，120）]，則[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新橋[BC]的長度為[150]m.

點撥 從考試角度來說，應用題主要考查兩個方面的能力：建立數(shù)學模型的能力（簡稱“建模”能力）、解決數(shù)學模型的能力（簡稱“解模”能力）. 從應試方法上如何突破呢？首先要系統(tǒng)研究所有可能出現(xiàn)的應用題并做到能對癥下藥，常考查的應用題類型有：函數(shù)應用題（以分式函數(shù)為載體的函數(shù)應用題、以分段函數(shù)為載體的函數(shù)應用題、以二次函數(shù)為載體的函數(shù)應用題）、三角測量應用題（以三角函數(shù)的定義為載體的三角應用題、以三角函數(shù)的圖象為載體的三角應用題、以解三角形為載體的三角應用題、以立體幾何為載體的三角應用題、以追擊問題為載體的三角應用題）、數(shù)列應用題、線性規(guī)劃應用題、解析幾何應用題.

創(chuàng)新意識

對創(chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查，要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數(shù)學和現(xiàn)實生活中的比較新穎的問題.回顧近年來的高考數(shù)學試題，不難發(fā)現(xiàn)：關注探究創(chuàng)新意識，考查數(shù)學理性思維，已成為高考命題的一種趨勢.在高考試題中常常通過創(chuàng)設一些比較新穎的問題情境，構造一些具有一定深度和廣度、能體現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的問題，著重考查數(shù)學主體內容.題型主要有：（1）條件探究型，（2）結論開放型，（3）條件和結論都發(fā)散型，（4）信息遷移型，（5）存在型，（6）解題策略開放型.

例3 （2014年高考重慶卷）設[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及數(shù)列[{an}]的通項公式；

（2）若[b=-1]，問：是否存在實數(shù)[c]使得[a2n解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由題設條件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

從而{（[an]-1）2}是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改寫為[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用數(shù)學歸納法證明上式.

當[n=1]時，結論顯然成立.

假設[n=k]時結論成立，即[ak=k-1]+1，

則[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

這就是說，當[n=k+1]時結論成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：設[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用數(shù)學歸納法證明命題[a2n