培養學生數學思維廣度和深度探究

石小江

[摘要]數學教學要從學生的生活實際出發，創造合適的學習條件，培養學生數學思維的廣度和深度，努力在課堂教學時做到知識問題化、問題層次化、任務習題化、習題探究化。

[關鍵詞]生活化思維能力探究性學習

[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2015）180040

費賴登塔爾曾說過，“與其說我們是在學習數學，倒不如說我們在學習數學化”。在數學教學中，我們應讓學生經歷學習數學的過程，通過自己的體驗、用自己的思維方式，建構屬于自己的數學知識。對此，我在講授“切線的判定”時，努力在課堂上實踐“四化”，即知識問題化、問題層次化、任務習題化、習題探究化，讓學生經歷“數學化”的過程，在培養學生數學思維的廣度和深度方面做了些嘗試。

一、創設探究情境，激發學習興趣

為了調動學生學習數學的興趣，我嘗試把古典詩詞與本課結合起來。在本課的導入中，我是這樣問的，王維的《使至塞上》中的名句大家都知道嗎？學生朗朗上口：“大漠孤煙直，長河落日圓。”“大家想一想，這句詩中包含了哪些幾何圖形？圖形之間還形成了哪些幾何關系？”學生對這個問題很感興趣，積極思考，討論熱烈。通過討論，學生發現有這樣幾種圖形：大漠、孤煙——直線與曲線。而“長河落日圓”的“畫面”，由線與圓所構成。我進一步追問：隨著時間的推移，“長河”與“落日”，也就是“線”與“圓”之間先后有幾種關系？然后讓學生動手畫一畫。這個教學環節是引導學生復習“直線與圓”的位置關系，學生很快得出結論：相離、相切、相交。這樣一種讓數學與文學相融合的處理方法，既切合了生活，也調動了學生的學習興趣，一舉兩得。

二、借助數量關系，拓展思維深度

幾何圖形是一種形象思維，教學中我們應該讓學生嘗試用數量關系來加深對本課內容的理解。教學實踐中，我先出示了三組判斷題讓學生判斷：（1）若C為⊙O上的一點，則過點C的直線與⊙O相切。（2）直線與圓最多有兩個公共點。（3）和圓有一個公共點的線段是圓的切線。

然后引導學生思考：這說明了什么？在我的引導下，學生認識到判斷直線和圓的位置關系就是要知道直線和圓的公共點的個數。我接著追問：能不能像判定點和圓的位置關系那樣，通過數量關系來判定直線和圓的位置關系呢？想一想我們應該通過比較半徑和哪個距離之間的數量關系來判斷直線和圓的位置關系呢？

接著，我引導學生深思：根據切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時使用定義判定很不方便，常用的是“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”及切線的判定定理。同學們能說出這兩種方法的聯系和區別嗎？學生通過仔細思考，發現切線的判定定理是由“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”直接推出來的，兩種方法本質是一致的，只不過切線的判定定理是從位置角度來判定的，“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”是從數量角度來判定的。

這樣，以問題鏈的形式引導學生探索切線的判定定理，解決了兩個問題：一條直線成為切線需同時滿足兩個條件：①經過半徑外端。②垂直于這條半徑。

三、精心選擇例題，強化探究能力

教學中，只有選擇好具有探究價值的例題，才能真正培養學生的數學思維能力。教師要善于從例題中引導學生深入思索，總結規律。已知：⊙O的半徑為3厘米，直線上有兩點A、B，且OA=OB=5厘米，AB=8厘米，求證：AB與⊙O相切。

我首先要求學生確定選用的切線判定方法。學生認為題目條件中未明確指出直線AB與⊙O有公共點，所以適宜選用“和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”進行證明，只需作OH⊥AB于點H，證明OH等于該圓的半徑即可。在請兩位學生到黑板上演示自己的推理過程之后，我讓學生自己總結從本題中得到的啟發。學生經過討論，集思廣益后發現：在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線與圓是否有公共點時，輔助線的作法是“過圓心向直線作垂線”，再證圓心到直線的距離等于圓的半徑。可以簡單地說成“無交點，作垂線，證半徑”。這樣，通過引導學生自主、合作、探究，總結歸納根據公共點是否明確來選用切線的判定方法以及相應輔助線的畫法，培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。

接著，我再追問：學完本課，我們能不能得出一些規律性的東西？研討之后，大家發現了規律：判定一條直線是圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，輔助線的作法是“連圓心和公共點”，再證直線與半徑垂直。當已知條件中未明確指出直線與圓是否有公共點時，輔助線的作法是“過圓心向直線作垂線”，再證圓心到直線的距離等于圓的半徑。這種探究式的學習方法，就比教師直接灌輸的效果要好得多。

培養學生思維的深度和廣度需要開闊他們的視野，需要拓展思維的力度，見多才能識廣，練多才能生巧。要做到這一點，作為數學教師首先要做到成為一個愛動腦的人、一個“識廣”的人。只有這樣，才能讓學生在“柳暗”之時“花明”，親其師，明其道，獲益匪淺。

（責任編輯黃曉）