全面分析，準確決策

耿恒考

一 知識要點

1.數據的代表

（1）平均數：一組數據的總和除以這組數據的個數所得的商，稱為這組數據的平均數.

（2）中位數：將一組數據從小到大依次排列，位于正中間位置的數（或正中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數.

（3）眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數，

注意，平均數、中位數、眾數都能反映一組數據的集中趨勢，從各自的角度呈現這組數據的“平均水平”.平均數能充分利用所有數據的信息，是這組數據的一個“重心”，在生活中較為常用.但它容易受極端數據的影響，而且計算較繁.中位數的優點是計算簡單，受極端數據的影響較小，但不能充分利用所有數據的信息.眾數的可靠性相對較差（有時不唯一），也不能利用所有的數據信息，它不受極端數據的影響，求法最簡便.當一組數據中個別數據變動較大時，宜選擇眾數來表示這組數據的“集中趨勢”.

2.數據的波動

（l）極差：用一組數據中的最大值減去最小值所得的差，稱為這組數據的極差.

（2）方差：在一組數據中，每個數據與平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差.

若用表示數據的方差，用x表示這些數據的平均數，則：

注意，極差只能反映一組數據的波動范圍，難以體現各個數據與平均數相比的波動情況.方差反映一組數據與其平均數間的離散程度，能充分利用所有數據的信息.方差越大，數據組的波動就越大.

二 解題技巧

1.在計算平均數時：

（1）如果n個數據中，各個數都比較大，而且都接近某個數a，我們可以將各個數都減去a，先算出所得差的平均數x，再求得x=x+a.這樣可以大幅減少計算量，提高解題的正確率.

（2）當一組數據中有許多數據多次重復出現時，使用加權平均數公式計算會更簡便.

2.在計算中位數時，要關注數據信息的呈現方式.不管是表格還是統計圖，都要先將這些數據進行排序（由小到大或由大到小）.

3.如果數據的平均數是，方差是，那么數據的平均數是，方差是數據的平均數是，方差仍是數據的平均數是，方差是

三 思想方法

統計學的基本思想是用樣本去估計總體，在研究問題時，往往先從總體中隨機抽取大小合適的樣本，然后通過對所抽取的樣本進行計算和分析，進而對總體的相應情況作出推斷.

四 易錯題解析

例1 如果一組數據8，8，x，6的中位數與平均數相等，求x的值.

解析：解這類題的錯誤常在于對數x的考慮不全面.數x是一個多大的數，要分類討論：

（l）當x≤6時，數據排序為x，6，8，8.此時中位數是7，而平均數為，則，得x=6.

（2）當6（3）當x≥8時，數據排序為6，8，8，x，此時中位數是8，而平均數為，得x=10.

綜上，x的值為6或10.

例2 如果一組數據6，8，10，x的眾數與平均數相等，求這組數據的中位數.

解析：這組數據的平均數為

題中給出的已知數據有6，8和10，因此眾數可能是6，8或10.

所以的值可能等于6，8或10，須分三種情況考慮，代入可知，唯當眾數為8時，眾數與平均數相等.故這組數據的中位數是8.

五 典型題賞析

1.平均數的應用

例3 某單位要從內部選拔高管一名，為此對甲、乙、丙三名候選人進行了筆試和面試兩項測試，三人的測試成績如表1所示，

根據錄用程序，該單位組織200名職工對這三人用投票推薦的方式進行民主評議，三人的得票率（沒有棄權票，每位職工只能推薦1人）如圖1所示，每得一票記作1分.

（1）如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？

（2）根據實際需要，單位將筆試、面試、民主評議三項測試的得分按4：3：3的比例確定個人的成績.那么，誰將被錄用？

解析：（1）首先算出三人的民主評議得分依次為50分，80分，70分，再求出甲、乙、丙三人的平均成績分別為72.7分，76.7分，76分.因此乙將被錄用.

（2）利用加權平均數公式可求得每個人的成績分別為72.9分，77分，77.4分，因此丙將被錄用.

感悟：要根據問題的特點靈活選用平均數的計算公式，以盡可能地使計算簡便.

2.平均數、中位數、眾數的應用

例4 某校信息技術競賽小組20名同學一次競賽的成績統計如下：

（1）若成績的平均分為73分，求x，y的值.

（2）在（1）的條件下，設此競賽小組20名同學競賽成績的眾數為a.中位數為b，求a-b的值.

解析：由表中信息可知，兩個未知數x，y滿足x+y=13.再利用平均分x=73，可以得到關于x，y的另一個二元一次方程.由此可以通過解方程組得出x=5，y=8.根據以上結果，可以得出a=80，b=75，便知a-b=5.

3.方差的應用

例5 甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，各次的打靶成績情況如圖2所示.

（1）清填寫上面的表格.

（2）請從不同的角度評價甲、乙兩人的打靶成績，

解析：（1）由折線圖提供的信息可知，甲、乙兩人的10次成績分別為：甲9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.從而可知甲、乙成績的平均數都是7；中位數分別是7，7.5；方差分別是1.2，5.4；命中9環及以上的次數分別為1，3.

（2）①從平均數和方差結合看，由于平均數相同，但，因此甲比乙的成績更穩定些；②從平均數和中位數結合看，平均數相同，但乙的中位數高，因此乙的成績好些；③從平均數和命中9環及以上的次數結合看，平均數相同，而乙命中9環及以上的次數比甲多，故乙比甲的成績要好些；④從折線圖的走勢上看，甲一直在7環附近波動，沒有什么起色，而乙從第5次開始成績一直在上升，而且越來越好，故乙的潛力大.

感悟：在平均數相同的情況下，看穩定性就是比較方差的大小.