平行四邊形知識梳理

陳德前

一 知識要點自檢

1.平行四邊形的性質：（l）平行四邊形的對邊______且______；（2）平行四邊形的對角____，鄰角______；（3）平行四邊形的對角線______；（4）平行四邊形是______對稱圖形，對角線的交點是______.

2.平行四邊形的判定：（1）兩組對邊______的四邊形是平行四邊形（定義）；（2）兩組對邊______的四邊形是平行四邊形；（3）兩組對角______的四邊形是平行四邊形；（4）對角線______的四邊形是平行四邊形；（5）一組對邊______且______的四邊形是平行四邊形.

3.矩形的性質：矩形具有平行四邊形的一切性質，同時它還具有自身的性質：（1）矩形的四個角都是______；（2）矩形的對角線______；（3）矩形是軸對稱圖形，有______條對稱軸.

4.矩形的判定：（l）有一個角是______的平行四邊形是矩形；（2）對角線______的平行四邊形是矩形；（3）有______個角是直角的四邊形是矩形.

5.菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質，同時它還具有自身的性質：（1）菱形的四條邊都____；（2）菱形的對角線____，且每一條對角線平分______；（3）菱形是軸對稱圖形，它的對角線就是它的對稱軸，菱形有______條對稱軸；（4）菱形的面積等于______乘積的一半.

6.菱形的判定：（l）有一組鄰邊______的平行四邊形是菱形；（2）對角線______的平行四邊形是菱形；（3）______條邊相等的四邊形是菱形.

7.正方形的性質：既具有______的性質，義具有______的性質.

8.正方形的判定：（l）有一組鄰邊______的矩形是正方形；（2）有一個角是______的菱形是正方形.

9.三角形的中位線：連接三角形兩邊______的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線______第三邊，且等于第三邊的______.由三角形的中位線可同時得出線段間的位置關系和數量關系.

10.直角三角形斜邊上中線的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的____，它將直角三角形分為兩個等腰三角形.

11.平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到______的距離叫做這兩條平行線之間的距離.平行線之間的距離______.

二 常用解題技巧

1.直接應用平行四邊形的性質解決有關角或線段的問題

例l （2014年·宿遷）如圖l，則∠ADB的度數是（）.

A.16°

B.22°

C.32°

D.68°

解析：由BC=BD可得∠BDC=∠C=74°，故∠CBD=32°.再由平行四邊形的性質可求得∠ADB=32°.故選C.

點評：求平行四邊形中的角時，常利用平行四邊形的對邊平行、對角相等、鄰角互補等性質，

側2（2014年·黔南）如圖2.把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊.設重疊部分為△EBD，則下列說法中錯誤的是（）.

解析：根據矩形的性質，并結合折疊的性質來分析，知A，B正確，由折疊知∠CBD=∠C'BD.又AD//BC，所以∠ADB=∠CBD，從而有∠ADB=∠C'BD，EB=ED.C正確.由于矩形的形狀不一定，所以D不一定成立.因此選D.

點評：折疊前后圖形的形狀與大小不變.

2.應用判定方法進行判定

例3 （2014年·安順）如圖3，在△ABC中，AB=AC.AD⊥BC，垂足為點D.AN是△ABC的外角∠CAM的平分線.CE⊥AN，垂足為點E.

（1）求證：四邊形ADCE為矩形.

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？請給出證明.

解析：（1）通過證明四邊形ADCE是有三個角是直角的四邊形，來說明它為矩形.

（2）假設四邊形ADCE為正方形，則有AD=DC=BD.進而得出∠B=45°或∠BAC=90°等.證明從略.

點評：判定特殊平行四邊形的方法一般有兩種：（1）一次判定法：即從任意四邊形出發，根據有關結論，直接說明該四邊形是矩形、菱形或正方形（如（1）題）；（2）逐層判定法：先判定是否為平行四邊形，再判定是否為矩形或菱形，最后判定是否為正方形，在具體解題中，我們常將這兩種方法結合起來使用.

3.先證明四邊形是平行四邊形或特殊平行四邊形.再應用有關的性質

例4 （2014年·宿遷）如圖4，在△ABC中，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，AH是邊BC上的高.

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）求證：∠DHF=∠DEF.

解析：（1）由點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，運用中位線定理得到DE∥AC，EF//AB，可知四邊形ADEF是平行四邊形.

（2）由四邊形ADEF是平行四邊形，有∠DAF=∠DEF.在Rt△AHB中，D是AB的中點，可得∠DAH=∠DHA：同理可得∠FAH=∠FHA.從而有∠DAF=∠DHF，于是∠DHF=∠DEF.

點評：利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DH=DA，進而得到，是轉化邊角關系的一個常用方法.

三 綜合題賞析

例5 （2014年·深圳）如圖5，已知BD垂直平分AC，

（l）證明四邊形ABDF是平行四邊形.

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長，

解析：（1）由線段垂直平分線的性質可得△ABC和△ADC均為等腰三角形，故而四邊形ABDF是平行四邊形.

（2）由條件可知是菱形，得到AB=BD=5.設BE=x，則DE=5-x.然后利用勾股定理，有得到，解得.則

點評：本題涉及多個知識點，具有一定的綜合性，

例6（2012年·綏化）如圖6，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標是（0，0），B點坐標是（3，4）.矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的點G處.E.F分別在AD和AB上，且F點的坐標是（2，4）.

（l）求G點的坐標.

（2）求直線EF的解析式.

解析：（1）根據折疊的性質可知FC=AF=2.而FB=AB-AF=1，故在Rt△BFG中，可求出，則從而得到G點坐標為.

（2）由（1）可知FG=2FB，Rt△BFG為含30°角的直角三角形，則∠BFG=60。，結合折疊的性質可知，從而.于是EF=2AF=4.利用勾股定理可求出，故E點的坐標為又F點的坐標是（2，4），所以可利用待定系數法求出直線EF的解析式，計算略.

點評：本題是矩形與一次函數的綜合題，考查了矩形的性質，圖形折疊的性質，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質與判定等，綜合性較強，

四 易錯點評析

1.特殊代替一般

例7（2014年·徐州）若順次連接四邊形的各邊中點所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定是（）.

A.矩形

B.等腰梯形

C.對角線相等的四邊形

D.對角線互相垂直的四邊形

錯解：選A或選B.

解析：錯解由三角形中位線的性質，認為順次連接對角線相等的矩形或等腰梯形的各邊中點所圍成的四邊形是菱形，從而選擇A或B，犯了以特殊代替一般的錯誤.事實上，矩形或等腰梯形僅僅是對角線相等的四邊形中的“特殊情況”，正確答案應選C.

2.思考問題不周

例9 （2014年·襄陽）在oABCD中，BC邊上的高為.則平行四邊形ABCD的周長等于______.

錯解：如圖7，在平行四邊形ABCD中，AB=CD=5，4D=BC.設BC邊上的高為AE在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，根據勾股定理得BE=3.同理得CE=2.故BC=BE+CE=5，的周長為2x（5+5）=20.

解析：本題是無圖題，解題時應考慮周全，它相當于已知△ABC的兩邊AB和AC以及第三邊BC上的高AE，求第三邊BC的長度，因為三角形的高AE可在△ABC的內部，也可在△ABC的外部，所以應分兩種情況討論.

（1）若高AE在△ABC的內部，如圖7，解法如上；

（2）若高AE在△ABC的外部，如圖8，同理可得BE=3，CE=2，故BC=BE-CE=3-2=1，平行四邊形ABCD的周長為2x（5+1）=12.

綜上，可知平行四邊形ABCD的周長為20或12.

點評：對于涉“高”問題，一定要注意高的位置的多種可能性.謹防漏解.