勾股定理知識快速掃描

姚萬里

一 知識要點梳理

1.勾股定理：如果直角三角形兩直角邊的長分別為a，b，斜邊的長為c，那么.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

2.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形是直角三角形，且長為c的邊所對的角是直角.

3.勾股數組：能夠成為直角三角形三條邊的長的三個正整數，稱為勾股數組，常見的勾股數組有3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9.12，15；9，40，41.勾股數組有無數個.

二 解題技巧歸納

1.勾股定理主要用于計算直角三角形的邊長.在應用時要注意如下五點：

（1）注意勾股定理的使用條件：只對直角三角形適用，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形.

（2）注意分清斜邊和直角邊，避免盲目代人公式致錯.

（3）注意勾股定理公式的變形：在直角三角形中，已知任意兩邊的長，可以求出第三邊的長.

（4）運用勾股定理的前提條件是在直角三角形中，如果已知條件中沒有直角三角形，要想利用勾股定理，必須先構造直角三角形.

（5）注意結合數學思想解題：分類討論思想，數形結合思想，方程思想，整體思想等.

2.應用勾股定理的逆定理時，應注意分三步進行：一計算，二比較，三結論.

3.解題技巧：

（l）利用面積法巧求直角三角形斜邊上的高，

例l 已知直角三角形的兩條直角邊的長是9，12.求斜邊上的高，

提示：由勾股定理，得斜邊的長為

設斜邊上的高是h，則

（2）利用整體思想巧求直角三角形的面積，

例2 在△ABC中，∠C=90°，a+b+c=24，c=10.求△ABC的面積，

解：因c=10，a+b+c=24，故a+b=14，

因，故100+2ab=196.

∴ab=48，

（3）利用勾股定理巧求等腰三角形的面積.

例3 如圖1，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm.求△ABC的面積，

三 綜合題賞析

例4 （2011年·廣安）某園藝公司擬對一塊直角三角形花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m.8m現要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為一直角邊長的直角三角形.求擴建后的等腰三角形花圃的周長.

解析：當題目中沒有給出圖形時，要畫出所有符合題意的圖形，以防漏解，設原三角形為Rt△ABC，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=1Om.按每兩條邊相等，可有如下三種情況.

（l）如圖3，當AB=AD時，CD=6m.故△ABD的周長為32m.

（2）如圖4，當BA=BD時，CD=4m，故△ABD的周長是

（3）如圖5，當DA=DB時，設AD=xm，則CD=（x-6）m.則，解得.故△ABD的周長是

綜上，擴建后的等腰三角形花圃的周長是32m或

例5 （2013年·襄陽）在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點與斜邊中點的連線剪去兩個三角形，得到如圖6所示的直角梯形.則原直角三角形紙片的斜邊長是______.

解析：顯然，C和F都有可能為原直角三角形的直角頂點.相應地.D和E分別是斜邊的中點。于是有圖7和圖8兩種情況，然后根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊的長，（1）如圖7，連接CD，則因D為斜邊AB的中點，故（2）如圖8，連接EF，則因E為斜邊AB的中點，故綜上，斜邊長是

例6 （2014年·郴州）如圖9，在長方形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上的一點，將長方形ABCD沿CE折疊后，點B落在AD邊的F點上，則DF的長為______.

解析：根據長方形的性質得CD=A B=8，∠D=90°根據折疊的性質得CF=BC=10.由勾股定理可以求出DF計算略.

例7（2011年·綿陽）王偉準備用一段長30米的籬笆圍一個三角形形狀的小圈，用于飼養家兔.已知第一條邊的長為a米.由于受地勢限制，第二條邊的長只能是第一條邊的長的2倍多2米.

（1）請用a表示第三條邊的長，并求出a的取值范圍.

（2）能否使得圍成的小圈是直角三角形的形狀，且各邊長均為整數？若能，請說明你的圍法；若不能，請說明理由，

解析：（1）由第一條邊的長為a米，得第二條邊的長為（2a+2）米，第三條邊的長為30-a-（2a+2）=28-3a（米）.因三邊長的大小順序不能完全確定（只能確定出2a+2>a），故由兩邊和大于第三邊可知a+2a+

（2）能圍成，理由如下：

因為，且a為整數，所以a=5或a=6.所以三角形的三邊長分別是5米，12米，13米或6米，14米，10米，當三角形的三邊長分別是5米，12米，13米時，所以三角形是直角三角形；當三角形的三邊長分別是6米，14米，10米時，，三角形不是直角三角形，所以能圍成直角三角形的形狀，且三邊長分別是5米，12米，13米，

牛刀小試：

1.如圖10.將矩形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的點F處.若AB=8cm，BC=lOcm，求EC的長.

2.如圖11，有一個圓柱形油罐，其底面圓的周長為24m，高為6m一只螞蟻從距底面1m高的A處爬行到相對的點B處吃食物.它爬行的最短路線的長為多少？

3.在等腰三角形中，若一邊長是6，另一邊的長是8.求一腰上的高.

4.如圖12，在Rt△ABC中，∠C=90。，AC=4，BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一個合適的直角三角形，使拼成的圖形是一個等腰三角形，如圖12所示，請畫出兩種與圖12不同的拼接方法，并在圖中標明拼接的直角三角形的三邊長.

點撥：

1.AF=AD=10cm.EF=ED，∠AFE=90°.故EF+EC=DC=8cm.根據勾股定理得BF=6cm.于是FC=4cm.設EC=xcm，則EF=（8-x）cm.因此解得x=3.

2.把圓柱側面展開成平面圖形，如圖13，則線段AB為沿側面爬行的最短路線，其長為13m.還有一種方法是沿圓柱的母線和上底的直徑行走，這時走的路線的長為.請比較一下.

3.有如圖14所示的兩種情況，可先求出△ABC的面積，再利用求出BD.

4.有圖15所示的幾種拼接方案，供參考.