永不言“負”的二次根式

張彩明

《二次根式》一章的主要內容，有二次根式的概念，二次根式的性質，二次根式的加、減、乘、除的運算法則等，二次根式的題目往往在填空題、選擇題或者簡單的計算題中出現，考查的重點為二次根式的概念、性質、化簡以及計算，題目難度一般為中低檔.

一 知識要點

1.二次根式的性質：

（1） （3）積的算術平方根：

（4）商的算術平方根：

2.二次根式的運算法則：

（1）乘法運算：

（2）除法運算：

（3）二次根式的加減：先將各二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并.

二 解題技巧

1.對于二次根式的概念及其性質的復習，要抓住兩個關鍵點：一是二次根式的概念，在理解二次根式意義的時候，應注意被開方數非負的條件，并會確定其中字母的取值范圍：二是弄清二次根式的性質：（1）、

2.與整式的乘除類似，二次根式的乘除也可以運用運算律、乘法公式等來化簡運算，解題時要抓住三個關鍵點：

（1）最簡二次根式應滿足兩個條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.

（2）二次根式的乘法法則，即.運用法則進行二次根式的乘法運算時，要結合兩個公式進行：①

（3）二次根式的除法法則，即運用法則化簡二次根式時，要結合公式

3.與整式的加減類似，二次根式的加減中，化簡后被開方數相同的根式類似于同類項.加法的運算律也同樣適用，合并被開方數相同的二次根式，類似于合并同類項.

三 典型題賞析

解析：2x-5與5-2x應同時為非負數，即2x-5≥o且5-2x≥o，故代人已知式求得y=-3，所以應選A.

反思：二次根式中的被開方數是非負數，由此可以解出x的值，進而求出y的值.

例2 已知a為實數，求代數式的值，

簡析：由，所以a=0，從而可求，

例3 實數a在數軸上的位置如圖1所示，則化簡后為（）.

解析：從數軸可知30，所以故選D.

解析：原式

反思：化去分母中的根號時，若分母僅有一項，則分子分母同時乘以分母中的根式：若分母有兩項，則分子和分母同時乘以分母中根式的有理化因式（以便使分母能運用平方差公式將根號化去）.

例5 先化簡，再求值：其中x=

解析：略.

反思：與二次根式有關的條件求值，一直是中考的熱點之一，常與整式、分式的化簡結合在一起.這類問題往往要求先化簡求值式，再將數值代入求值：有時還需要將所給的條件式進行化簡或變形.這類題目解法靈活多變，技巧性較強，

反思：把被開方式通分并把分子寫成完全平方式的形式，是解題的關鍵.

例7 圖2是一輛自行車的側面示意圖.已知車架中AC的長為42cm，座桿AE的長為18cm.點E，A，C在同一條直線上，后軸軸心B與中軸軸心C所在的直線BC與地面平行，且BC=50cm.ED⊥BC于D.BD=32cm.ED的延長線交地面于F，求車座E到地面的距離EF

簡析：欲求EF的長，只需求DE的長，因為DF已知.可在Rt△EDC中利用勾股定理求出ED.再利用EF=ED+DF即可，具體計算略.

例8（2014年·鎮江）讀取下面表格中的信息，然后解決后面的問題.

因，故n可以取得的最小整數是7.

反思：通過求和，找出與n的關系，是解題的關鍵.

四 易錯點析

1.概念理解不透徹

例9 如果是二次根式，那么x的取值范圍是______.

錯解：由題意可知，所以2-x≤0，即x≥2.

剖析：本題忽視了分母2-x≠0的情況.正確的答案是x>2.

2.忽視二次根式的非負性

例l0 已知xy<0，則化簡的結果是（）.

錯解：故選A.

剖析：上解忽略了隱含條件.而由xy<0，知x≠0且y≠0，所以，y>0，x<0.上面化簡的結果顯然是個負數.

正解：由二次根式的意義可知.結合xy