例說與正方形有關的“三垂直”

沈占立

一 基本圖形與結論

如圖l和圖2，在正方形ABCD中，過B，D兩點分別向過C點的直線作垂線，垂足分別為E，F，則有結淪：這個結論利用“角角邊”易證.

不難看出，圖1是向正方形外作垂線構造三垂直，故稱“形外三垂直”；圖2是向正方形內作垂線構造三垂直，也叫“形內三垂直”，此結論可為一些題目提供解題依據，亦能簡化思路和計算.

二 作垂線構造三垂直

例1 如圖3，A（-1，0），B（O，3）.以AB為邊作正方形ABCD，求點C，D的坐標.

點撥：A，B兩個點都在坐標軸上，且正方形在坐標軸的同側，故只須過C，D兩點分別向坐標軸作垂線即可。

解：如圖4，過C作CM⊥y軸于M，過D作DN上x軸于N，則.所以CM=AN=B0=3，BM=DN=A0=1，故C（-3，4），D（-4，1）.

例2 如圖5，邊長為2的正方形OABC的OA邊與y軸的央角為30。，求點B，C的坐標.

點撥：本題只有0點在坐標軸卜，且正方形在y軸的兩側，故須過A，C兩點分別向y軸作垂線，再過B點向x軸作垂線，

解：如圖6，作AD⊥y軸于D，作CE⊥y軸于E，作BF⊥CE于F.則由上述基本圖形與結論，可得

通常，當正方形放到平面直角坐標系中時，若其部分頂點在坐標軸上，則便為三垂直創造了條件.結合上述基本圖形，利用正方形邊角的性質構造全等三角形，求點的坐標會很方便.

練習：

1.如圖7，4（-3，4），四邊形OA BC為正方形，AB交），軸于D.求點B，D的坐標.

2.如圖8，A（O，2），D（1，0）.以AD為邊作正方形ABCD，求點B，C的坐標，

參考答案：

1.B（1，7），

2.B（2，3），c（3，I）.