對角線在平行四邊形中的應用

花得健

數學思想方法是分析、處理和解決數學問題的出發點，是對數學規律的理性認識，也是對數學知識的本質概括.數學思想方法有很多，如對應思想、轉化思想、數形結合思想、分類討論思想等.

平行四邊形問題巾最常用的是轉化思想，就是利用對角線把四邊形轉化成三角形以及平行線，再利用相關的知識來解決問題.下面，我們就談談平行四邊形中對角線的應用.

例l 如圖1.四邊形ABCD是正方形.BE//Ac，AE=AC、CF//AE.試證明∠E=2∠BCF

分析：此題要證明兩個角之間的關系，但這兩個角似乎沒有直接的聯系.題中出現了一條對角線，如果再出現一條對角線的話就能顯示一些特殊的邊角關系了.

解：如圖2，過A作AH⊥AC交BE于H.連接BD，AC與BD交于O點，由A0=BO易證得四邊形AHBO為正方形，所以

因AE=Ac，故又顯然四邊形AEFC為菱形，

點評：利用正方形的邊和對角線的特殊性質，找到了解題的突破口，

例2 如圖3，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6.過點A作AE⊥BC，垂足為E.求AE的長，

分析：連接BD，BD交AC于O.根據菱形的性質可得AC⊥BD，然后根據勾股定理計算出BO的長.再根據面積關系即可得出答案.

解：略，

例3 如圖4，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3.H是AF的中點.求CH的長，

分析：CH與對角線AC，CF有關系，而已知條件中的正方形的邊長也與對角線有關系，因此連接AC，CF根據正方形的性質可求出AC， CF而于是，然后利用勾股定理可求出AF再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得CH.

點評：此題利用正方形的對角線的特殊性質構造出了直角三角形.

在平行四邊形的學習中，由于平行四邊形的特殊性，我們在研究其性質的時候一般要從邊、角、對角線三個方面人手.特別是對角線，更要特別關注，

練習：

1.如圖5，在△ABC中，點D是BC的中點，點E，F分別在線段AD及其延長線上.且DE=DF給出下列條件：①BE⊥EC；②BF//CE；③AB=AC.

請從中選擇一個條件，使四邊形BECF是菱形.你認為這個條件是____（填寫序號）.

2.如圖6，E是平行四邊形ABCD中AB邊的延長線上的一點.ED交BC于F.請在△CEF.△BEF，△DCF中，找出與△ABF面積相等的三角形，并說明理由.

參考答案：

1.③

2.提示：△BEF與△ABF同高，若面積相等必須AB=BE.顯然這個是不一定的，△DCF與△ABF也是等高的，若面積相等必須BF=CF，這也不一定.連接BD.