勾股定理與折疊問題的不解之緣

朱宸材

在近年的中考試卷中，出現了大量的圖形操作類題，通過對圖形的折疊、剪拼等變換手段，為同學們提供一個動手操作、說理驗證的問題情景，此類問題在四邊形知識點的考查方面表現得尤為突出，現選取和折疊有關的中考題加以解析，供同學們參考.

一、判斷圖形形狀

例1 （濰坊）如圖1，矩形紙片ABCD中，AB=8.將紙片折疊，使頂點B落在AD邊的E點上，折痕的一個端點G在BC邊上，BG=10.折痕的另一個端點F在AD邊上.請證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕FG的長.

解析：由圖形的折疊可知四邊形

∴ BG=EF，從而四邊形BCFF為平行四邊形.

又EF=EC，故平行四邊形BGEF為菱形.

作FK⊥BC于K，如圖2，BF=10，FK=8，由勾股定理可得BK=6.所以KG=10-6=4.

點評：找出折疊前后相等的角，再將角度的關系轉化為邊之間的關系，是解題的關鍵.菱形的判定方法較多，要學會選擇.

二 求圖形的面積

例2 （淄博）矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2.將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合.折疊后在其一面著色，如圖3，則著色部分的面積為（）.

解析：根據折疊可知，梯形我們可以將著色部分的面積看作是梯形AEFD的面積加上△CEB的面積.如圖4所示，連接AF，可以證明出四邊形AECF為菱形（理由同例1），則AE=CE=CF.設BE=x，則AE=CE=4-x.在Rt△CEB中，有，得x=1.5，則CF=A E=CE=4-x=2.5，DF=1.5.故梯形AEFD的面積為（1.5+2.5）x2÷2=4，△CEB的面積為，則著色部分的面積為，故選B.

點評：矩形折疊可得到菱形，值得注意

三 求點的坐標

例3 （蘭州）如圖5，OABC 是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片.O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5.OC=4.在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點0落在BC邊上的點E處，求D，E兩點的坐標.

解析：依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸.在Rt△ABE中，AE=OA=5，AB=4.

∴ BE=3.從而CE=2.

∴ E點坐標為（2，4）.

在Rt△DCE中，又因為DE=OD，

∴ D點坐標為

點評：把求點的坐標轉化為求直角三角形中某條邊的長度，即可求解.

圖形折疊問題實質上是對稱問題的一種特殊形式.在處理圖形折疊問題時，關鍵是抓住下面兩點：

（1）折疊前后的不變量：折疊前后對應的邊相等，對應的角相等.

（2）折疊前后的變化量：折疊前后對應頂點之間的線段被折痕垂直平分.