“一般”與“特殊”

田載今

我們常把要研究的對象分為“一般對象”或“特殊對象”，例如，當我們把平行四邊形看作一般對象時，矩形、菱形和正方形就是其中的幾種特殊對象，即幾種特殊的平行四邊形.又如，當我們把一次函數y=kx+b（k≠0）看作一般對象時，正比例函數y=kx（k≠0）就是一種特殊對象，即一種特殊的一次函數.

一般對象與特殊對象的關系是：一般對象中包含了特殊對象.一般對象的性質，指的是其中各個特殊對象都具有的共性.例如，任一平行四邊形都有“對邊相等”“對角相等”“對角線互相平分”等性質.特殊對象存在于一般對象之中，特殊對象不僅具有一般對象都具有的共性，而且還有自己的特性.例如，矩形不僅具有平行四邊形的所有性質，而且還有“四個角都是直角”“兩條對角線相等”等特性，這些特性并非任一平行四邊形都會具有.

我們研究對象時，有兩種不同的途徑.一種是從研究一般對象發展到研究特殊對象，另一種是從研究特殊對象發展到研究一般對象，我們需要根據研究對象的特點，選擇適當的研究途徑，

一、“從一般到特殊”的研究途徑舉例

回顧人教版初中數學教科書的第十八章《平行四邊形》，大家會發現教科書展現的是“從一般到特殊”的研究途徑.

這章的第一節，從認識平行四邊形的定義出發，以平行四邊形的基本特征（兩組對邊分別平行）為基礎，推導出平行四邊形的性質，并由性質的逆命題推導出判定一個四邊形是平行四邊形的條件（“兩組對邊分別相等”“兩組對角分別相等”“對角線互相平分”“一組對邊平行且相等”等）.

這章的第二節，依次認識矩形、菱形和正方形.矩形是有一個角是直角的平行四邊形.相對于一般平行四邊形，矩形特殊在“有一個角是直角”.根據這一特征，再加上一般平行四邊形的共性，就能推導出矩形的特性以及判定方法.菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形.相對于一般平行四邊形，菱形特殊在“有一組鄰邊相等”，根據這一特征，再加上一般平行四邊形的共性，就能推導出菱形的特性（“四條邊都相等”“對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角”等）以及判定方法.正方形是四條邊都相等并且四個角都相等的四邊形，它既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以它不僅具有一般平行四邊形的共性，而且具有矩形和菱形的特性，在認識了平行四邊形、矩形和菱形之后，對正方形這種特殊性更強的平行四邊形的認識就水到渠成了.

平行四邊形、矩形、菱形和正方形的包含關系，可以用圖1來表示.

圖1直觀地顯示出一般對象（平行四邊形）包含了特殊對象（矩形和菱形），特殊對象又包含了更特殊的對象（正方形）.由圖l可以看出，特殊對象處于一般對象范圍之內的特定區域，這表示它除具有一般對象的屬性之外，還具有特定的性質，一般地說，如果對象4包含對象B，那么A的外延（即范圍）大，B的外延小；A的內涵（即屬性）少，B的內涵多.

縱觀這章的體系結構，“先研究一般平行四邊形，再研究特殊平行四邊形”這一“從一般到特殊”的發展脈絡十分清晰，

三、“從特殊到一般”的研究途徑舉例

回顧人教版初中數學教科書第十九章《一次函數》第二節“一次函數”，大家會發現教科書展現的是“從特殊到一般”的研究途徑.

這節的第一小節，從認識正比例函數的定義出發，以正比例函數的基本對應關系y=kx（k≠0）為基礎，由描點法得出正比例函數的圖象是通過原點的一條直線.而由“k>0時，圖象經過第一、三象限，從左到右上升；k<0時，圖象經過第二、四象限，從左到右下降”，引導出正比例函數的增減性（k>0時，隨著x的增大y也增大；k<0時，隨著x的增大y反而減小）.至此，完成了用“定義一圖象一性質”這一模式研究正比例函數的過程.

這節的第二小節，在正比例函數關系y=kx（k≠0）的基礎上，添加常數6，使函數關系發展成為y=kx+b（k≠0），引出了一般的一次函數的定義.按一次函數的定義可知，正比例函數是一種特殊的一次函數，其特殊性在于常數b=0.在研究一次函數的圖象時，教科書沒有重復描點法這一“原始的”方法，而是引導我們發現y=kx與y=kx+b（k≠0）的聯系，借助正比例函數的圖象得出一般的一次函數的圖象.具體的認識過程是，先提出問題：畫函數y=-6x和y=-6x+5的圖象，由于y=-6x是正比例函數，其圖象是第一小節已經研究過的問題，我們很容易得出它是過原點和點（1，-6）的一條直線.對比兩個函數的解析式，可以聯想到一次函數y=-6x+5的圖象是平行于直線y=-6x并且比它高5個單位的一條直線（圖2）.進一步，容易得出一般的一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象為過點（0，b）和點（1，k+b）的一條直線，

掌握了一次函數的圖象后，聯系正比例函數的增減性，借助圖象的直觀描述，容易得出一次函數的增減性（k>0時，隨著x的增大y也增大；k<0時，隨著x的增大y反而減小）.至此，完成了用“定義一圖象一性質”這一模式研究一次函數的過程.

縱觀這節的體系結構，“先研究正比例函數這種特殊的一次函數，再研究一般的一次函數”這一“從特殊到一般”的發展脈絡十分清晰，

三 “由淺入深，由簡至繁，由易到難”進行研究

“從一般到特殊”和“從特殊到一般”是兩種過程相反的研究途徑，但它們并非是“一對一錯”的對立關系，它們各自都有用武之地，關鍵在于要用得恰到好處，要適合研究的對象，

“由淺入深，由簡至繁，由易到難”是一般研究過程的規律，不論是“從一般到特殊”，還是“從特殊到一般”，都應遵循這樣的規律.例如，矩形、菱形和正方形是特殊的平行四邊形，它們的內涵比一般平行四邊形更多，性質更復雜，判定條件更嚴苛，而且對它們的研究不能脫離對一般平行四邊形的認識，因此“從一般到特殊”地研究平行四邊形是符合認識規律的，又如，正比例函數y=kx（k≠0）是特殊的一次函數，與一般的一次函數y=kx+b（k≠0）相比，正比例函數所具有的b=0的特征使其在形式上更簡單，由此其圖象的位置也更容易確定（必定過原點）.正是由于這些特性，使正比例函數成為一次函數中最簡單的特殊對象，而且在認識它的基礎上很容易擴展到一般的一次函數，因此“從特殊到一般”地研究一次函數是符合認識規律的，

俗話說“到什么山唱什么歌”“看菜吃飯，量體裁衣”，研究不同的對象，有可能采取不同的研究途徑，要具體問題具體分析，沒有一成不變的方法.

同學們，回顧并總結研究問題的方法，對于提高研究問題的能力非常有益.認識一般對象與特殊對象的辯證關系，對于更全面地認識事物十分重要.