淺談數理統計中點估計教學的若干問題

朱暉 劉邵容

【摘要】點估計是參數估計的一種重要方式，它的兩種經典方法是矩估計方法和極大似然法。本文介紹了這兩種估計的計算方法，以及教學中容易忽略的一些特殊情況做了詳細的分析。

【關鍵詞】矩估計 原點矩 總體矩 極大似然估計 似然函數

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）07-0129-01

一、矩估計

1.矩估計的方法

矩估計法是最古老的求估計的方法之一，它是由英國統計學家K. Pearson 在1900 年提出的。設總體X，其中θ1，θ2，…θl未知，則總體X的數字特征也未知，即此時的總體矩EX，EX2，…EXl統統都是參數。

但注意到樣本觀測值中的18已落在[0，16]外，這顯然是不合理的。對于這類問題，用極大似然估計法可以有效解決此類問題。

二、極大似然估計

1.極大似然估計的方法

首先建立似然函數L（θ），如果隨機抽樣得到的樣本觀測值為x1，x2，…，xn，則我們應當這樣來選取未知參數θ的值，使得出現該樣本值可能性最大，即使得似然函數L（θ）取得最大值，從而求出參數θ，這樣就轉化為求似然函數L（θ）的極值點，一般來說，通過求解=0來解決。然而L（θ）是個連乘積，通常比較復雜，而與L（θ）在的同一點取得極大值，于是可轉化為=0來求解。

2.用極大似然估計方法時的思維定式

通常課本和練習中的題以=0方式求解居多，于是導致許多學生通常不假思索就先對似然函數取對數再求導，但其實不然，有些情況下不取對數直接對似然函數球道數更直接。例如，已知總體X的分布律為：P（X=1）=θ2，P（X=2）=2θ（1-θ），P（X=3）=（1-θ）2，其中θ為未知參數，已知樣本值x1=1，x2=2，x3=1，，求θ得極大似然估計。這道題的似然函數L（θ）=2θ5（1-θ），顯然直接對L（θ）求導等于0很容易運算就可以得到=5/6.

3.不能通過求導方法獲得極大似然估計值

若似然函數關于有間斷點，上面通過對似函數求導獲得極大似然估計值的方法，對未知參量求偏導已不適用，要針對具體問題做具體分析。

例如：設總體服從均勻分布U（a，b），a和b未知，抽取容量為n的樣本X1，X2，…，Xn的觀測值分別為x1，x2，…，xn，求a和b的極大似然估計值。

解：極大似然函數：L（a，b）= a≤x≤b，i=1，…，n0 其它，由此可知當a=minxi，b=maxxi時，L（a，b）取得最大值，根據極大然估計定義可得參數和的極大似然估計值為：=minx =maxx

4.極大似然估計不存在的情況

似然函數的導函數為零的點只是函數的駐點，而駐點未必是函數的極大值點。所以似然方程的解未必是極大似然估計，也即極大似然估計不一定存在。因此通過解似然方程的方法求似然估計時，需要驗證似然方程的解是否是似然函數的極大值點。

例如：設總體服從均勻分布U（θ-1，θ+1），θ未知，抽取容量為n的樣本X1，X2，…，Xn的觀測值分別為x1，x2，…，xn，求θ的極大似然估計值。

解：極大似然函數L（θ）= θ-1≤x≤θ+1，i=1，…n0 其它，區間[maxxi-1，minxi+1]所有數都可以作為θ的極大似然估計值，但是當maxxi-1>minxi+1時，θ的極大似然估計值不存在。

參考文獻：

[1]陳希孺.數理統計教程[M].北京：科學出版社，1984： 5～ 91.

[2]張忠誠. 兩種情形下參數的極大似然估計[J].高等教育函授學報，2005（2）