獨立學院線性代數課程教學研究

李海霞

[摘 要]線性代數是高等院校一門重要的基礎課程，但是由于該課程內容抽象，教學課時短，對于教師的教學和學生的學習上造成了很多困難。本文首先分析該課程的教學難點，然后根據其難點提出相應的教學建議。

[關鍵詞]線性代數，抽象，概念，運算

[中圖分類號]G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）08 — 0165 — 02

作為高等院校一門重要的基礎數學課程，線性代數在自然科學、工程技術、統計學和管理科學等諸多領域有著廣泛的應用。但是由于其內容過于抽象，對教師的教與學生的學都產生了較大的困難。本文將首先分析造成該課程難教難學的原因，之后給出若干教學建議，從而降低該課程的教學難度。

1 線性代數難教難學的原因

作為非數學專業的線性代數課程，起主要內容有行列式、矩陣、線性方程組、線性空間、二次型等。通過相關文獻分析與教學實踐總結，筆者認為上述內容在學生的學與教師的教上有如下3個難點。

1.1 概念的抽象

線性代數所涉及的概念的抽象程度要高于高等數學（微積分）課程。大學數學一般包括高等數學、線性代數、概率統計等。學生進入大學面對的第一門課程就是高等數學或微積分。主要內容為微分學、積分學、級數、空間解析幾何等。而微積分、級數的研究對象則為函數與數列，這兩者與解析幾何都是學生在中學多次接觸過的。而且函數（數列）極限等概念都能在數軸上做出很好的幾何解釋，比較符合學生已有的認知結構。

而線性代數中的許多概念，如矩陣、線性相關、線性空間、特征值等等，中學生幾乎都沒有接觸過。換句話說，雖然課程名稱為“線性代數”，但是學生會感到與中學所學的代數有天壤之別。許多學生在心理上不承認“線性代數”是代數。很難將以前學習代數的經驗方法類比遷移到線性代數中，因此造成了學生的學習困難。

另外，很多教科書在編寫時注重數學自身的邏輯性，往往以概念、定理、例題的形式呈現知識內容，沒有給出很多概念的引入實例，使得許多教師在教學時很難選取合適的案例來引入新課，造成了教師教與學生學的困難。

1.2 運算的擴充

代數學是研究運算的數學分支。但是線性代數中定義了很多中學里沒有的運算，中學里的運算多在復數域內進行，是A×A→A類型的二元代數運算，但是線性代數中出現了很多新運算，如行列式的運算，矩陣的運算、線性空間中的加法與數乘，線性變換、內積運算等。同時很多中學里成立的運算律在線性代數課程中失效，如乘法的交換律、消去律等。對新運算的不熟悉，也是造成學生難學，教師難教的原因之一。

1.3 計算復雜、計算結果易錯

線性代數中很多運算復雜程度都很高，例如三階行列式，按照對角線法則就要進行17次加減乘運算，而兩個三階矩陣做乘法，則要進行45次加減乘運算。其他的運算，如解線性方程組，二次型化標準型，求標準正交基等，運算強度之大中學里都未曾接觸過。如此大的計算量，學生在初學時很容易算錯。因此學生在學習過程中往往陷于計算，只見樹木不見森林，不能從整體把握所學習的內容。而教師在教的過程中，課時少，如果在課堂上過多在黑板上演示，則會影響到后續內容的教學，造成了教師教學的難度。

以上這些難點對于重點高校的生而言，也許并非難點。但是對于獨立學院的學生而言，難度還是很大的。因為本文針對上述教學難點，分別給出幾條教學建議，從而盡量降低學生的學與教師的教的難度。

2.線性代數教學建議

2.1通過實例引入概念

線性代數概念雖然抽象，但是這些概念均是從實際問題或眾多初等的數學背景中抽象出來的。如果教師在教學中能夠指出這些概念的出處，并指出這些概念在解決實際問題中的巨大應用，則能收到良好的教學效果。下面以矩陣概念的引入為例進行說明。

矩陣不止在線性代數學上有著巨大的工具性價值，在泛函分析、動力系統以及群表示論上都有著廣泛的應用。因此教學上要突出矩陣的工具性。對于低年級的學生，可以從一些學生熟悉的問題入手，引入矩陣概念。如首先指出矩陣是一種工具，可以用它來研究一些基本的平面幾何中的圖像（向量）變。之后通過若干實際問題情景，從經濟學、隨機現象、解線性方程組、圖論的角度引入矩陣的具體例子，并得到了m行n列矩陣的概念和n階方陣的概念。而對于矩陣的運算，逆矩陣等都是由具體的幾何變換引出的。盡量創設實際問題情景，從多種角度來引出新概念、新性質。使學生更好地了解矩陣的來源于應用，激發學生的興趣， “強調數學實質、注重數學應用”、“高中數學應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值”、“高中數學應力求使學生體驗數學在解決問題中的作用、數學與日常生活以及其他學科的聯系”、“數學課程要通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使得學生理解數學概念、結論逐步形成的過程”的理念有關.

2.2 通過模型幫助學生理解運算

線性代數中很多抽象的運算都有具體的背景來源，如矩陣的乘法來源于幾何變換以及經濟中才投入產出模型，二次型化標準型來源于解析幾何中的二次曲線化簡，內積運算則來源于平面（空間）向量的數量積運算。下面以矩陣的乘法為例說明如何在教學中通過具體背景幫助學生理解運算。

對于矩陣的加法，其定義很自然，學生不難理解。但是很多學生會對矩陣乘法的定義感到很奇怪，不明白為何要這樣定義。其實，矩陣的乘法有著很生動的現實來源。比如，對經管類專業的學生，可以利用投入產出模型來引入矩陣的乘法，例子如下。

其中aik，是第i個工廠生產的第k種產品的數量，bk1和bk2分別是第k種產品的單位價格和單位利潤。用ci1和ci2分別表示第i個工廠甲乙兩種產品的總收入及總利潤。這樣就很自然的看出矩陣乘法定義的原因。

這個例子不僅很好的解釋了矩陣乘法的實際背景。并且顯示了線性代數在解決實際問題中的功能。并且使得在教學過程中盡可能多地滲入線性代數在相關專業上的的應用，增加了學生學習的動力和興趣。在學習矩陣乘法時，學生往往不太理解乘法的運算法則，而是一味地死記硬背，如果能在講授這個知識點插入投入產出模型，學生在具體的實例中去理解運算法則，會使得學習效果倍增。

2.3 利用計算機突出算理，降低計算難度

之前提到，線性代數計算量大、復雜，計算結果容易出錯。學生在學習的過程中，往往糾纏于計算，而忽視了對整個課程知識系統的把握。

圍繞線性代數全部課程的一個重要內容就是解線性方程組，在二次型化標準型，計算特征向量，線性變換的核與像中都會用到解線性方程組。這是一個相當繁瑣的過程。過于強調計算不利于提高學生的學習積極性，讓學生厭煩，反而使學生忽略了所學內容的本質。教師應該強調方程組在這里只是一個工具，只為了學生還是要弄清楚上述知識本身的特點。其實很多相關的的計算都可以通過專門的數學軟件來完成。現在隨著計算機技術的發展，一方面數學的應用變得更為廣泛，另一方面，也給我們提供了更多可以選擇的豐富資源。在針對不同專業的教學過程中，對于書本上的某個知識點，在講授完抽象的定義、定理后，如果能適當合理地講授該專業相關的應用，學生的積極性會大大提高，同時讓學生感受到學有所用、學以致用。

在教學如使用MATLAB等數學軟件解決線性代數中的計算問題，把MATLAB滲透到線性代數課程的教學中去。線性代數的整個理論體系，并不因使用計算機而有所改變，只是有些理論可以通過計算機來驗證，而且可以把大量的應用問題納入課程的習題或大作業中，加強它的工程背景，從而轉變教學觀念，樹立新的教學理念，提高學生的科學計算能力、創新能力及理論與實踐相結合的能力。下面是應用MATLAB軟件求解線性方程組的實例。

2.4 重視歸納類比在線性代數學習中的應用

歸納是從特殊到一般的推理，而類比則是由特殊到特殊的推理。歸納類比是重要的數學想方法，也可以一種重要的數學學習方法。在教學中善于使用歸納類比，既可以降低學習難度，也能夠增強學生學習的興趣，同時使學生掌握數學學習與創造的方法。

下面以向量空間為例，談談歸納類比的作用。向量空間是線性代數中的重要內容，一般出現在線性方程組一章，也是大學生第一次接觸到空間的概念，學好它對于線性代數的后續內容，如線性空間、線性變換、歐式空間乃至其他后繼課程如泛函分析都有著巨大幫助。中學里雖然也談到向量，但是為平面向量與空間向量，中學生最多也就接觸到3維空間。但是線性代數中的向量空間則為n維的，更具抽象性，缺少幾何直觀幫助學生理解。其實教師在教學過程中，可以與中學所學的平面向量進行類比。平面向量可以用坐標表示，也就意味著每一個向量可以用一組有序數對表示，空間向量也可以由有序數對表示。這時再引導學生去觀察線性方程，歸納出每一個線性方程可以由其系數組成的有序數對決定，而方程組的每一組解，都是一組有序數對，并且改變數的順序，這個解就不成立了。然后繼續引導學生觀察，通過幾個特殊的例子，學生可以歸納出，對于齊次方程組而言，若干解疊加之后，依然是解，所以由不同解組成的集合之間有加法，同樣也有數乘，這與向量間的加法與數乘是類似的，由此歸納出向量空間的概念。

3 結束語

通過上述分析可以發現，只要搞清楚線性代數教學困難的原因，結合學生的認知狀況，對癥下藥，就能化簡該課程的教學難度，從而提高學生的學習效果。

〔參 考 文 獻〕

〔1〕 姚立，王樹華.線性代數〔M〕.北京：高等教育出版社：2008.〔責任編輯：侯慶海〕