用高數的眼光看初數

時書音　張若男

摘要 介紹高等數學與初等數學的聯系，并舉例說明高等數學解決初等數學的方便快捷。

關鍵詞 高等數學 初等數學

在高等數學的學習中存在以下兩個方面的問題：一方面由于初等數學難以與高等數學直接銜接，使不少學生一接觸到高等數學就開始頭痛，另一方面，由于高等數學理論與初等數學教學需要嚴重脫節，許多高師畢業生對如何用高等數學知識指導初等數學教學感到茫然。

一、高等數學知識與初等數學的聯系

初等數學講多項式的運算法則而高等數學在拓寬多項式的含義，嚴格定義多項式的次數及加法、乘法運算的基礎上，接著講多項式的整除理論及最大公因式理論。

初等數學講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數的關系。高等數學接著講一元次方程根的定義，復數域上一元次方程根與系數的關系及根的個數，實系數一次方程根的特點，有理系數一元次方程有理根的性質及求法，一元次方程根的近似解法及公式解簡介。

初等數學學習的整數、有理數、實數、復數為高等數學的數環、數域提供例子。初等數學學習的有理數、實數、復數、平面向量為高等數學的向量空間提供例子。初等數學中的坐標旋轉公式成為高等數學中坐標變換公式的例子。

初等幾何學習的向量的長度和夾角為歐氏空間向量的長度和夾角提供模型，三角形不等式為歐氏空間中兩點間距離的性質提供模型，線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型。綜上所述可知，高等數學在知識上的確是中學數學的繼續和提高。它不但解釋了許多中學數學未能說清楚的問題，如多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論等，而且以整數、實數、復數、平面向量為實例，引入了數環、數域、向量空間、歐氏空間等數學系統。這對用現代數學的觀點、原理和方法指導初等數學教學是十分有用的。

二、高等數學的優越性

在學習高等數學時，從方法上要和初等數學進行比較。例如選擇一些既可以用高等數學又可以用初等數學解決的問題，分別采用兩種方法解答。通過對比性我們就會體會到知識的相關性，激發學習的興趣，還提高我們的理解能力和認識水平。如證明三角形中位線定理、三角形三線定理，平行四邊形對角線相互平分定理等等，除利用初等數學方法證明之外，還可以利用解析幾何學中向量法證明。正弦函數的遞增性，中學對這一問題是通過觀察圖象直觀描述的，沒有給出理論上的證明，可以說是在中學階段沒有得到充分解決的問題。而在高等數學中，則通過求導數判定函數在某個區間上的遞增性的方法來解決。

三、導數在初等數學中應用

導數是高等數學的主要內容之一。用導數解初等數學題簡便易行，不需要多大技巧，而且適用面較寬。特別是用導數討論函數的單調性時，均無需多大技巧，且過程簡單，只需要求出導函數然后判斷符號就可以啦，若用初等數學知識討論，需要一些技巧，且解法要繁瑣，困難很多。由此可知，利用導數求單調區間，其解題方法固定，它比用單調性的證明要簡單也容易理解與掌握。

四、二則的區別

在初等數學中初步萌生的若干數學觀念，包括數學研究的對象，數學研究的特點等，在高等代數中將得到深化和發展。關于數學研究的對象，由初等數學研究的數、代數式、方程、函數等內容，初等幾何研究的點、線、面、常見圖形等內容，不難看出：數學研究的對象是現實世界的數量關系和空間形式。然而這個觀念在高等代數等后繼課程中卻不斷受到沖擊。首先，集合的包含關系，多項式的整除關系，向量的線性關系，矩陣的等價、相似、合同關系己不再是傳統意義下的數量關系。其次，向量空間、歐氏空間也不再局限于有直觀意義的空間形式。高等代數等近、現代數學課程都說明：數學是一門應用抽象量化方法研究關系、結構、模式的科學。這一新的觀念對于指導中學教改是至關重要的。關于數學研究的特點，人們普遍認為是抽象性、嚴謹性和應用的廣泛性，然而僅從中學數學是很難深刻體會到這些特點的。首先看抽象性。中學數學中，從用字母表示數，諸多數學概念的形成已使學生初步體會到抽象的含義和作用。但是對數學科學如何借助于抽象而不斷發展卻知之甚微，通過高等代數等后繼課程的學習，這樣的例子就漸漸多了起來。

高等數學許多內容的知識背景源于初等數學，在課程教學改革實踐中，不僅要挖掘知識體系方面的聯系，更要挖掘數學思想方法、數學觀念方面的聯系。高等數學應用于初等數學并不是簡單的一題多解，而是一種知識的融會貫通和發展學生的發散和聯想思維。高等數學是現代數學中一個重要的分支，是在初等數學的基礎上研究對象進一步的擴充。高等數學是初等數學的進化。高等數學不僅是初等數學的延拓，也是現代數學的基礎，只有很好的掌握高等數學的基礎知識才能適應數學發展和教材改革。高等數學知識在開闊視野，指導中學解題等方面的作用尤為突出。在許多問題中，如果我們能用高等數學知識解決一些初等數學中的問題，將命題轉化為一般性的問題進行解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。