數學解題，“三審”題目

文/李菁菁 高明

波利亞在《怎樣解題》中提到解題的第一個環節是“弄清問題”，它是對問題表征進行認識的過程，通過審條件、審結論、審方法三方面去理解題意，抓住關鍵信息，明確命題的意圖，進而找到解題的突破口，“三審”是成功解決問題的前提。

一、審條件

條件是解題的基礎和依據。審條件就是要充分利用題目中的已知條件，將條件進行分解、轉化、組合，挖掘隱含信息，找到它們之間的內在聯系，同時要抓住關鍵特征，明確命題的意圖，尋找解題的突破口。

x+y=_______.(2010年全國高中數學聯賽新疆維吾爾自治區預賽)

分析與解答:條件是關于變量x，y的高次方程，單獨解出x，y非常困難。抓住題目中的隱含條件，即方程的結構特征和數量特征，將其變形為:

觀察可發現這兩個方程有較明顯的特征，兩式的左邊結構相同，右邊的兩個數互為相反數。此時可構造函數f(t)=t2011+t2009+2010t，再利用相關性質:

(1)函數f(t)為奇函數，有f(x-1)=-f(y-1)=f(1-y);

(2)函數f(t)為R的單調遞增函數，則由f(x-1)=f(1-y)可得x-1=1-y。

故x+y=2。

二、審結論

結論的證明或解答是解題的目的、落腳點。審結論就是在解題前要知道題目求的是什么，明確解題方向。而對于某些選擇題，往往可以從結論入手，將結論分成互斥的類型，從而尋找到解決問題的思路。

分析與解答:從結論入手，可發現A、C選項不含0元素，B、D選項含有0元素，則將選項分為兩類:A、C與B、D。

三、審方法

方法就是解題的手段、技巧，是解題的重要工具。審方法就是挖掘題目中的條件，可以利用數學公式、定理等來得到解決問題的思路。多角度、全方面地思考如何利用這些條件來解決問題，有助于提高人的思維能力。

分析與解答:

方法1(函數的性質)函數的定義域為[2，3]，由連續函數在閉區間內必有最值，且通常在端點處或極值點處取得，而，因此f(x)的值域為[1，2]。

方法2(數形結合法)由于涉及根式運算，較復雜，可考慮使用換元法。令原函數變為y=a+b，又有a2+3b2=3，即現考慮直線b=-a+y與橢圓1(a≥0，b≥0)的位置關系。(如圖2)，利用數形結合思想可知:直線與橢圓第一象限有交點，故y最小在點(0，1)處取，此時y=1，y最大滿足由其判別式為0，可解得y=2處取得，所以y∈[1，2]，即f(x)的值域為[1，2]。

方法3(三角代換法)由于變數3x-6與3(3-x)之和為定值，聯想到三角函數的性質。因為0≤3-x≤1，令3-x=cos2α，α∈，則3x-6=3sin2α。

則f(α)∈[1，2]。