試卷分析中學(xué)生成績(jī)的正態(tài)檢驗(yàn)*

◆陳秋鳳 周防震 袁德培

1 前言

試卷分析是教師完成教學(xué)工作的重要環(huán)節(jié)之一，學(xué)生成績(jī)分布是試卷分析的重要組成部分。成績(jī)正態(tài)分布是一種概率分布的特殊表現(xiàn)形式，在統(tǒng)計(jì)某次考試成績(jī)分布規(guī)律的時(shí)候，將成績(jī)按分?jǐn)?shù)段制成統(tǒng)計(jì)圖，如果成績(jī)分布圖中中等成績(jī)占最多數(shù)，其余成績(jī)以中等成績(jī)?yōu)橹休S，向兩側(cè)逐次降低，則稱這次成績(jī)呈正態(tài)分布。然而在實(shí)踐中，教師在進(jìn)行學(xué)生成績(jī)分布的正態(tài)性分析時(shí)常常存在主觀臆斷，只要看到有“兩頭低、中間高”的趨勢(shì)，就主觀認(rèn)為符合正態(tài)分布，否則就認(rèn)為不符合正態(tài)分布。

2 學(xué)生成績(jī)的正態(tài)檢驗(yàn)

圖1為生物制藥工程與設(shè)備課程學(xué)生成績(jī)的頻次圖，可以看出成績(jī)分布與正態(tài)分布有些許偏差。教師在試卷分析時(shí)容易存在主觀偏見(jiàn)，即不加檢驗(yàn)，認(rèn)為學(xué)生成績(jī)不符合正態(tài)分布。事實(shí)上，某次考試學(xué)生成績(jī)分布是否真正服從正態(tài)分布，需要進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

正態(tài)概率圖 概率圖（probability-probability plot，P-P plot）是以實(shí)際或觀察的累積頻率（X）對(duì)被檢驗(yàn)分布的理論或期望累積頻率作圖（Y）。如果所分析的數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布，正態(tài)P-P圖圖形的散點(diǎn)應(yīng)該呈現(xiàn)一條直線。圖2為生物制藥工程與設(shè)備課程考試74個(gè)學(xué)生成績(jī)的P-P圖，可以看出散點(diǎn)近似在一條直線，中部散點(diǎn)較多地靠近直線上方。

分位數(shù)圖 分位數(shù)圖（quantile-quantile piot，Q-Q plot）是以實(shí)際或觀察的分位數(shù)（X）對(duì)被檢驗(yàn)分布的理論或期望分位數(shù)（Y）作圖。如果所分析的數(shù)據(jù)來(lái)自正態(tài)分布，則Q-Q圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)應(yīng)分布在從左下到右上的直線附件，否則數(shù)據(jù)點(diǎn)偏離直線較遠(yuǎn)。圖3為生物制藥工程與設(shè)備課程考試74個(gè)學(xué)生成績(jī)的Q-Q圖，可以看出散點(diǎn)近似在一條直線，且擬合程度比P-P圖（圖2）好，說(shuō)明利用圖示法進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，Q-Q圖的效率比P-P圖高。

矩法 矩法（method of moment，又稱動(dòng)差法）是利用數(shù)學(xué)上的矩原理來(lái)檢驗(yàn)偏度和峰度。偏度指分布不對(duì)稱的程度和方向，用偏度系數(shù)（coefficient of skewness）來(lái)衡量，樣本偏度系數(shù)用g1表示，總體偏度系數(shù)用γ1表示；而峰度則指分布與正態(tài)曲線相比的冒尖程度或扁平程度，用峰度系數(shù)（coefficient of kurtosis）衡量，樣本峰度系數(shù)用g2表示，總體峰度用γ2表示。理論上，總體偏度系數(shù)γ1=0為對(duì)稱，γ1＞0為正偏態(tài)，γ1＜0為負(fù)偏態(tài)；總體峰度系數(shù)γ2=0為正態(tài)峰，γ2＞0為尖峭峰，γ2＜0為平闊峰。只有同時(shí)滿足對(duì)稱和正態(tài)峰兩個(gè)條件時(shí)，才能認(rèn)為資料服從正態(tài)分布[1]。其中g(shù)1和g2統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

式中X為變量值，f為相同X值的個(gè)數(shù)，n為樣本含量。當(dāng)用原始數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，f=1。因此，上兩式無(wú)論n的大小均適用。g1和g2統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤計(jì)算公式為：

g1和g2的抽樣分布近似正態(tài)分布，故可用μ檢驗(yàn)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)。

1）建立假設(shè)檢驗(yàn)，確定檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

H0：γ1=0且γ2=0，即總體服從正態(tài)分布。

H1：γ1≠0或（和）γ2≠0，即總體不服從正態(tài)分布。

α=0.10（欲不拒絕H0，α宜稍大以減少Ⅱ型錯(cuò)誤）。

2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。利用生物制藥工程與設(shè)備課程考試74個(gè)學(xué)生成績(jī)的原始數(shù)據(jù)，f=1，X為74個(gè)學(xué)生成績(jī)。

令 ∑fX=∑X=6239，∑fX2=∑X2=531 843，∑fX3=∑X3=45 811 973，∑fX4=∑X4=3 985 200 975，按上述公式計(jì)算得g1和g2分別為-0.214 0和-0.279 5；σg1和σg2分別為0.279 2和0.551 7。故有：

3）確定P值，做出推斷結(jié)論。查μ界值表，雙尾檢測(cè)，μ0.05=1.64，可見(jiàn)峰度P＞0.05，偏度P＞0.05。按照α=0.10水平，不能拒絕H0，無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，即尚不能認(rèn)為學(xué)生成績(jī)的總體不服從正態(tài)分布。

3 結(jié)語(yǔ)

從學(xué)生成績(jī)頻次圖（圖1）直觀判斷，容易認(rèn)為生物制藥工程與設(shè)備課程學(xué)生成績(jī)的分布不符合正態(tài)分布；但圖示法（包括P-P法和Q-Q法）和矩法結(jié)果均顯示還不能認(rèn)為該課程學(xué)生成績(jī)的分布不服從正態(tài)分布，表明教師在進(jìn)行學(xué)生成績(jī)的正態(tài)性評(píng)價(jià)時(shí)，僅從成績(jī)分布頻次圖進(jìn)行直觀判斷容易陷入“主觀”臆斷，科學(xué)的判斷需要借助于一定的正態(tài)檢驗(yàn)方法。P-P和Q-Q圖示法具有簡(jiǎn)單明了的特征，從本文可以看出，Q-Q圖示法（分位數(shù)圖法）擬合程度優(yōu)于P-P圖示法，說(shuō)明其檢驗(yàn)效率更高更好。但圖示法只能定性，難以定量判斷，而矩法具有明顯的定量特征。盡管矩法涉及繁瑣的公式計(jì)算，但借助于常用統(tǒng)計(jì)分析軟件（如SPSS），很容易計(jì)算偏度（Skewness）系數(shù)g1和峰度（Kurtosis）系數(shù)g2兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量[2]，以及它們各自對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)誤σg1和σg2。綜合認(rèn)為，借助SPSS等統(tǒng)計(jì)分析軟件，矩法分析結(jié)合假設(shè)檢驗(yàn)，是教師進(jìn)行試卷分析時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生成績(jī)符合正態(tài)分布與否的客觀方法。■

[1]孫振球.醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:人民衛(wèi)生出版社,2010.

[2]時(shí)立文.SPSS19.0統(tǒng)計(jì)分析從入門到精通[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012.