“想象”數學的內涵詮釋與教學展現

黃紅成

（揚州市江都區實驗小學，江蘇 揚州 225200）

想象是思維的翅膀，數學是鍛煉思維的體操，數學與想象關系密切。數學學習離不開想象，需要具有想象的翅膀。數學教學需要引導兒童想象，陪伴兒童飛翔，積聚兒童飛翔與振翅的力量。

一、“想象”數學的內涵詮釋與特質思量

（一）價值分析

1.教學實質的彰顯。關聯與想象是學習和教學的實質。無論是“理解”還是“遷移”，其背后的支撐都是“聯想”；而聯想背后的支撐則是“世界中諸事物之間的普遍關聯”與“人腦對這些‘普遍關聯’的想象”[1]。學習就是學會想象，想象世間萬物的關聯；而教學就是教人如何去想象，想象前人如何想象“世間萬物之間的關聯”。如此，想象彰顯了教學活動的實質。

2.數學教學的需要。想象是種形象思維，數學是“思維的體操”，想象與數學難以分離。在數學天地里，存有很多抽象和莫測的問題，充滿了玄妙的圖形變換和神奇的數學規律……因而，數學需要兒童發揮想象，運用想象打開思維的另一扇窗，使思維的觸角從有限的視野延伸至廣闊無垠的未知世界，從有限現實世界邁入無限的可能世界。

3.兒童發展的訴求。想象是兒童的天性，是兒童認識世界的重要方式。缺了想象，兒童認識事物將會顯得呆板和枯燥，審視問題可能變得單一和局限；有了想象，兒童便能形成豐富的內心，延續有限的視界，變換思維的視角，使得思維的觸角能夠超越現實世界，甚至思接千載、視通萬里……所以，在兒童的發展過程中，絕不能少了想象！

（二）內涵解讀

作為一種心理活動，想象是人在客觀事物的影響下，在言語的調節下，頭腦中已有的表象經過結合、改造與創新而產生新表象的心理過程[2]。

數學中的想象，其內涵不僅要從心理學的角度進行闡釋，也要從教育學的視角予以考量，既指學生利用原有表象形成新形象的心理過程，也應該包括學生提取記憶表象和借助學習經驗進行推想、聯想等思維活動。

數學想象是數學中的思維方式，包括想象在數學教學中的反映，想象方法和方式在數學活動中的體現。它與語文或美術學科中的想象，在思維的方式上相似，是改造已有表象而創造新形象的形象性思維；但是在創造的結果和內容上又存在較大的區別，語文和美術中的想象可以不受邏輯的限制而天馬行空，數學中的想象則講求事物的關聯度和合理性。

“想象”數學是以數學知識、內容和問題為媒介，以教學心理學和一般教學規律與原則為基礎，以提升兒童數學想象能力為目標的教學方式；是以想象方式為特色并貫穿數學活動始終，豐富兒童學習方式的教學追求，培育和發展兒童想象、推想、聯想等綜合能力，進而改變兒童數學學習質態，使想象成為兒童學習活動的自覺行為與思維習慣的教學愿景。

概言之，“想象”數學是基于兒童已有經驗和想象表象的，是促進兒童改造和創造新表象的教學主張；是豐富兒童學習方式、發展兒童思維能力、展現學習本質的教學方式。

（三）特質思量

“想象”數學與一般課堂教學的基本結構相同，但是在具體教學環節的著力點上又有區別（參見圖1）。從結構圖中，能夠顯見“想象”數學的三點特質。

第一，體現知識的關聯性。想象數學的課堂，兒童的想象活動是以已有的“印象”和原有的表象為基礎，以印象的再現、具化、轉借和表象的加工、編輯、改造等方式來參與學習活動之中，創造和衍生出新形象或新事物的思維活動。這種思維活動，是以原有表象生成新形象為特點的想象過程，是人腦對那些“普遍關聯”的想象，主要體現在“導入”環節。

第二，體現課堂的生動性。想象數學的生動性，主要表現在教學資源的形象性和問題呈現的開放性上。想象時，兒童依賴的表象是形象、直觀的，呈現的教學資源也是具體、可感的。課堂是流動的、非線性的。“想象”數學在關注教學生成的同時，追求適度的開放，為兒童的想象活動營造寬松的氛圍，有利于兒童創造新形象和新事物。

第三，凸顯教學的生長性。教育即生長。教學的目的是發展，發展即生長、提高。數學“既是兒童成長的需要，又是兒童成長的載體”。“想象”數學更利于兒童想象能力的發展，更能體現課堂教學的生長性。同時創造性是“想象”數學的顯著特征之一。因為加工、改造原有表象的過程就是創造的過程。讓兒童“前后聯系”“自主創造”，就是意在培養學生的創新意識和能力。

圖1 “想象”數學的具體教學環節結構圖

二、“想象”數學的演繹方式與教學展現

（一）積累想象表象，孕育振翅的潛能

表象是想象的基礎，表象的積累、豐富和加工是想象的前提。培育想象的潛能，需要著力兒童想象表象的形成、組合、積累和分類。

1.從無到有——創生表象，實現想象的前提

兒童的想象不是臆造而是依賴已有表象的，所以幫助兒童積累想象表象，是實現數學想象的前提。

數學概念通常比較抽象，文字描述或一貫遵循“生活原型——抽象概念——理解概念”的教學方式，有時不利于兒童準確把握數學概念。例如《認識小數》的教學，一般是結合“人民幣元、角和長度單位分米和米”，通過單位之間分數與小數的互化，讓兒童感悟“十分之幾可以改寫成一位小數；一位小數表示十分之幾”。單位進率的模糊和感受的淺顯，經常影響兒童對概念的掌握。所以可以采用數形結合的方法，將抽象的人民幣和長度單位這兩種素材直觀成形象的圖形。將一元的硬幣用圓形來代替，把一米的長度用長方形來表示，通過對這兩個圖形的10等分來展開教學，認識其中的“十分之幾可以用一位小數來表示”。這樣“從無到有”的教學方式，不僅能夠借助幾何直觀加深兒童對數學的理解，促使兒童結合直觀的圖形深刻感受一位小數的意義；而且將抽象的數的概念與圖形結合起來，可以讓兒童感悟到數與形的聯系，豐富了學習方式的同時積累了數學表象，為兒童“看數想形”的想象思維提供了可能。

2.從單到豐——豐富表象，實現想象的基礎

學習材料是學習數學的媒介，學習材料的質量常常影響兒童對問題的認識和對問題意義的分析。適切的教學材料和想象表象，能為兒童實現真正的數學想象支起應有的平臺。

例如《乘法》的教學，教材通常呈現這樣兩組材料：4群小雞，每群都是3只；3組小兔，每組2只。如果照本宣科，一方面學習材料顯得有點單調（都是幾個相同的數相加），兒童在相似的對象中容易知曉其相似之處，發現幾個相加同數的算式特點，卻沒能與其他算式進行對比和甄別；另一方面也容易造成教學手段單一，不利于兒童積累豐富的數學表象，以致難以為后繼學習中利用乘法的意義來分析問題打下基礎。因而，需要補充諸如2組3個胡蘿卜、4組2臺電腦、3組2只小雞等學習材料。因為加入了更多的學習素材，就有了分析和歸類的機會，所以在加深兒童感受“幾個幾相加可以用乘法計算”的同時，又能夠豐富學生的學習表象，能夠準確把握乘法的意義及其作用。

必要的材料和表象，是兒童實現數學理解和想象的“拐杖”。有了表象的對比和辨別，就有了感受和比較的機會；有了數學表象的補充和豐富，就有了理解的平臺與想象的源泉。

3.從合到分——分類表象，實現想象的條件

分類，是兒童數學學習的基本方法，也是兒童處理表象的基本形式。學習過程中的“分類”，是把兩種或兩種以上客觀事物的表象屬性、元素等特征進行歸類和比較，突出和聚焦某類事物共同特征的心理活動。

例如《旋轉》的教學，為了讓學生認識旋轉的特點和屬性，區分與其他運動方式的不同，教學時，可以借助生活中很多旋轉和平移的生活素材，呈現大量的旋轉和移門的平移現象。讓兒童先認真觀察、細心體會，哪些運動方式是旋轉？與移門的運動方式一樣不一樣？這樣就幫助兒童建立了大量的旋轉表象。然后再將旋轉現象進行分類，有的是圖形的旋轉，有的是物體的旋轉，鐘擺的旋轉與時針的旋轉又有什么不一樣？經過幾個層次的分類，學生了解了什么是旋轉，什么是順時針旋轉、什么是逆時針旋轉。這樣就幫助兒童積累了不同性質的生活表象，分清了不同的旋轉現象，提高了學生的辨別能力。并且，這些表象的積累，也為兒童判斷其他運動現象提供了標準，為后面諸如畫旋轉后的圖形、圓的認識和實現數學想象等做了鋪墊。

（二）豐盈學習方式，積蓄飛翔的力量

改造和創造新表象和新形象是想象的結果，也是想象的價值所在。培育兒童數學想象能力，需要兒童在想象中積累想象的經驗，積蓄想象的力量。

1.還原表象，調動兒童再現表象

已有的表象和情境，是實現數學理解的基礎。數學中的想象，通常是將已有的數學表象和生活情境加在當下的問題之上，實現“同化”和“認同”的過程。

對知識的掌握，光憑對比后對其內涵的抽象概括是不夠的，還需要用其外延進行解釋和驗證，才能促進兒童的真正理解。

例如教學《10以內加法》時，為了讓兒童牢固掌握10以內加法這一知識點，學生結合情境圖中的物體的數量得出了運算的結果后，還可以讓兒童說一說諸如“3＋2為什么等于5？”之類的問題。面對這樣的問題，兒童常常根據已有的生活經驗或表象，借助如“3個蘋果加上2個蘋果就是5個蘋果”，“3把椅子和2把椅子合起來有5把椅子”，“爸爸、媽媽和我3個人，加上爺爺和奶奶2個人是5個人”等具體事例來予以說明和解釋。用具體事例說明的過程，既是兒童理解算理、掌握問題的過程，也是將頭腦里的表象予以再現的想象過程。如此，不僅可以激活兒童頭腦中積累的想象表象，又能夠培養兒童的想象能力。

2.改造形式，引導兒童生發想象

兒童以形象思維為主，數學問題的呈現往往也是靜態和單一的。采用直觀教學的方式，使課堂不再枯燥，能夠促使兒童改造事物的形象，借助想象來理解數學問題。

例如《乘法分配律》的教學，教材一般借助買套裝衣服的問題，讓兒童對得出的兩種算式進行比較，再讓學生舉例、交流，最后總結乘法分配律，使乘法分配律的教學由圖像性表征過渡到符號性表征。但由于乘法交換律與其關系結構在節點的數量和聯結的方式上比較相似，所以兒童很容易將乘法分配律的關系結構納入到乘法交換律中去，造成關系結構的錯亂和混淆。[3]為此，可以幫助兒童將抽象的定律表述轉化成形象的圖形表示，將諸如“王大伯家有兩塊長方形菜地，第一塊長10米，寬6米；第二塊長8米，寬6米。兩塊菜地共多少平方米？”這類問題，通過圖形來幫助兒童分析和解決問題。第一塊地面積用長10、寬6的長方形面積表示，第二塊地面積用長8、寬6的長方形面積表示。因為兩個長方形等寬，所以既可以“先分開算再求和”或者“先算長再求積”。這種“合并圖形”的教學方式，既容易說理，也將靜態的算式比較轉化成了動態的圖形變換，而且動態的圖形變換也固化了學生的認知結構，培養了兒童想象的意識，滲透了想象的方法。

3.無中生有，驅使兒童實現想象

夸張與突出是實現想象的常用方法之一，是改變客觀事物的正常特征，使事物的某一部分或一種特性得以增大、縮小或突顯，以致在頭腦中形成新形象的過程。數學教學中的夸張，就是帶領、迫使兒童主動創造新概念、新形象的活動，能夠實現“從無到有”的想象過程。

例如教學《認識三角形》，如何自然、無痕地引出三角形的高，可以采用“夸張”的方式。即教學三角形的特征之后，可以話鋒一轉：“三角形由3條線段圍成。它里面還有一些看不到的線段，你看出來了嗎？”隨即出示一個三角形讓兒童觀察。因為沒有比較的對象，兒童難以“無中生有”。在兒童冥思不得其解時，再迅速出示一個與剛才三角形底邊相等而高不等的三角形，進行追問：“現在你發現這條看不見的線段了嗎？”由于是看不見的線段，兒童尋找時自然就排除了三條邊的不同，轉而把觀察的視角集中到兩個三角形的“高不一樣”。“那你所說的高在哪呢？能在屏幕里指給同學們看一看嗎？”隨即教師因勢利導引出高的概念。可以看出，高的出現是自然而然的過程，是兒童想象的結果，是在突出后實現的“從無到有”的結果。

4.變換視角，促發兒童感受想象

教學中，變換兒童認識事物的視角，拋棄兒童已有的認知，也不失為創舉，有時可以引領兒童打開思維的另一扇窗，感受數學的神奇和魅力，領略想象解決問題的作用和方法。

例如《圓的認識》的教學，撇開常規的教學思路。教學時，可以基于高年級學生已具備了一定的想象能力，和他們對“當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡叫做圓”的認識，采用依次出示頂角是120度、90度、72度、60度的等腰三角形并進行旋轉，分別旋轉出正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形等，讓學生在直觀的旋轉等腰三角形的動畫演示中，形象地感受到：等腰三角形的兩條腰越接近，底邊就會越來越短，旋轉的次數就會越來越多，旋轉出來的正多邊形也就越接近圓，而且正多邊形的頂點到中心點的距離始終是相等的；另外，當兩條腰如果無限接近，就會重合成一條線段，將線段以一端為中心點旋轉無數次，就能形成一個標準的圓。這樣的教學，不失為一種創舉，不但創新了教學方式，凸顯了圓的本質內涵，而且讓兒童學會了想象，發展了學生想象能力。

（三）創設學習“漁場”，勃發想象的魅力

“想象”數學，需要引導兒童對問題進行“深入”和“關聯”式的想象，讓兒童能夠自主、自覺地進行想象；加強問題辨析，科學使用想象方法，讓兒童在想象中提高想象的能力。

1.放大細節，賦予兒童想象的機會

細節是課堂的細胞，也是孕育兒童想象能力的契機。培養兒童的數學想象能力，需要捕捉兒童的創新思維，放大兒童想象思維的火花，激勵兒童學會想象、樂于想象。

例如教學《用數對確定位置》，在出示主題圖讓學生回答怎樣確定行和列時，學生出現了不同的聲音，在爭執不下的時候，為了和平面坐標系規定相一致：橫排叫做行，一般從左往右數；豎排叫做列，一般從前往后數。持不同觀點的學生雖然暫時默許了這樣的規定，也能正確使用數對表示物體或圖形的位置。而在處理解決一道“◇在第1列第3行，◎在第3列第2行”的問題時，學生很自然地用（1，3）和（3，2）表示方格圖中◇和◎的位置。然而有個學生卻突發奇想地說：“如果◇的位置用數對（3，1）表示，那么◎的位置用（？，？）表示。”問題雖然不符合多數學生的思維方式，然而確是一種創新，使得其他學生對這個看似滑稽的問題有了新的認識，想象方格圖旋轉后的樣子，以判斷問題的結果。以致引發了連鎖效應，讓其他學生產生“如果◎的位置用（2，2）表示，◇的位置又怎樣表示？”等問題。這樣教學，一方面學生學會了靈活思考和創生問題，另一方面也鍛煉了學生的想象能力，增加了想象的思維含量。

2.變換方向，賦予兒童想象的平臺

想象有縱向和橫向之分。縱向主要是指某類事物內部或某些事物之間關聯的歷時性的發展變化。橫向主要是指某類事物與其他類事物之間的關聯的同時性的發展變化。兒童的學習既要注重縱向積累更要注重橫向創新。有意識地讓兒童進行橫向聯系，由此及彼，有助于提高想象的品質。

例如平行四邊形、三角形和梯形三個圖形的面積計算公式，表面上看是三個不同的圖形，有的是三邊形，有的是四邊形，教學時也是相互獨立的課時。但這三個圖形面積計算公式在推導上都采用了轉化的思想方法，而且面積計算公式也存在內在的關聯，需要幫助學生進行梳理與溝通。[4]具體而言，就是在復習平面圖形面積計算時，不妨引導學生思考“平行四邊形和三角形能否可以想象成梯形”，“這兩個圖形的面積能否用梯形的面積公式來進行計算”？經過探究，學生覺得平行四邊形可以看成上底和下底相等的梯形，三角形可以看成上底為0的梯形，平行四邊形和三角形的面積也可以用梯形公式進行計算。這樣，既溝通了數學知識之間的聯系，突出了數學知識之間的關系，又將學生思維的廣度從梯形這一單個圖形延伸到其他圖形，實現了從整體上對三種圖形面積的深刻認知，知識視野得到了拓寬，橫向想象的能力也得到了鍛煉。

3.加強指導，賦予兒童想象的方法

當想象成為兒童的思維習慣時，受視野和能力的限制，或受思維慣性和負遷移的影響，運用想象有時卻容易讓兒童產生思維障礙和分析錯誤。對此，需要加以辨析和比較，強調想象的方式和方法，讓兒童能夠正確解決問題。

旋轉是常見的物體運動方式，兒童也有旋轉的生活表象。但生活中的旋轉多是物體整體繞“中心”的旋轉，且兒童積累的旋轉表象通常是比較模糊的，同時兒童觀察事物時重整體而輕局部，所以在畫旋轉后的圖形時經常憑借直覺，想象旋轉后的圖形的位置和形狀，出現很多錯誤。

怎樣解決這個問題？需要引導學生從整體的感知到局部的分析，從“二維繪畫”到“一維分析”。旋轉的圖形多數是由線段圍成的，要想讓學生正確地畫出旋轉后的圖形，先讓學生將圖形的旋轉分解成與中心點連接的線段的旋轉，最后再合并成圖形的旋轉。換言之，舍棄了對圖形整體的想象，轉而分解成“線段的旋轉——角的旋轉——平面圖形的旋轉”的畫圖過程。這樣，既吻合了旋轉圖形的特征，又強化了畫旋轉后圖形的方法，提高了學生利用想象方式解決問題的能力。

值得說明的是，“想象”數學的展現，在觀念上需要“撥開云霧”，在方式上應該銖積寸累，在實踐上也需要逐步完善和發展。而且探索中，如下感悟和觀點值得秉持：

（1）想象，應成為兒童數學學習的思維習慣；

（2）數學教學，需要適當的模糊，適度的開放；

（3）給兒童想象的空間，換自己意外的驚喜；

（4）數學教學，就是教會兒童數學的想象，教會兒童數學的思維；

（5）想象，不是課堂里的“噱頭”、標簽，而應落實在教學的每個環節；

……

總之，“想象”數學不僅注重知識的有效傳授，更注重兒童數學知識的習得和想象能力的培育。“想象”數學培養了兒童的想象能力，豐富了兒童學習數學的方式，鍛煉了兒童“展翅”的能力，積聚了兒童展翅飛翔的力量！▲

[1]徐文彬.關聯與想象是學習與教學的實質[J].江蘇教育：小學教學，2013（9）：1.

[2]張奠宙,陸志平.數學課程與教學論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2011（12）：378-388.

[3]黃紅成.培育“想象”：數學教學對兒童的應有關懷[J].中小學教師培訓，2012（4）：47-50.

[4]黃紅成.數學,能賦予兒童什么？[J].教學與管理，2014（5）：50-51.