淺談定積分的計算方法

李永紅

摘 要：本文通過實例，討論了定積分計算的方法和技巧，有助于提高學生定積分的計算能力。

關鍵詞：定積分；計算

一、定積分計算的重要性

定積分是微積分三大基本運算之一，也是計算重積分、曲線和曲面積分的基礎。我們熟知的牛頓——萊布尼茨公式是求連續函數定積分的一般方法，但是在習題中我們經常會碰到所求原函數很復雜或者根本無法求出的情形。因此定積分的計算，除使用求不定積分的換元法、分部積分法等之外，還有自己的特色。這里列舉幾例供同學們參考。

二、計算定積分的方法

（一）利用定積分的幾何意義

例1

解：令x-1=t，原式

對于一些被積函數是分段函數或含絕對值符號等情形，如果被積函數圖象易于作出， 可以利用作圖簡化計算。

（二）利用對稱區間上定積分的性質

對稱區間上的定積分有偶倍奇零的結論，但當被積函數非奇非偶，且f（x）+f（-x）可化為易于積分的函數，有以下結論：

，

例2

解： 令 ，

原式=

三、利用周期函數定積分的性質

如果f（x）是周期為T（T>0）的連續函數，α為常數，則

。

例3 求

解： 為周期函數，周期為π，則令nx=u，ndx=du，

如果被積函數有周期性，而積分區間又是周期的整數倍，可以用此結論簡化計算。

四、利用變量代換

變量代換在定積分的計算中很常見，有根式代換、倒數代換等，技巧性強，解無定法。這里給出兩例供參考。

例4 計算

解： 記r=■，令x=■-μ則有

因此， ，

。

例5 計算

分析： 本題除考慮無理代換 外，作代換

x=sin2t計算更簡便。

解：令x=sin2t，dx=2sintcostdt。

原式= 。

三、結束語

當然定積分的計算還有冪級數法、待定系數法、二重積分和數值方法等。希望同學們在解題實踐中不斷總結，提高計算定積分的能力。

參考文獻：

[1] 毛綱源.考研數學三常考題型解題方法技巧歸納（第二版）[M] . 武漢：華中科技大學出版社， 2013.

[2] 陳兆斗等.大學生數學競賽習題精講.北京，清華大學出版社，2010年.