LC空間中極大極小不等式問題的相關(guān)研究

葉久齡

一、引言及預(yù)備知識(shí)

1.引言

關(guān)于KKM定理的研究是目前非線性問題研究的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，目前常見的研究，有些是空間條件復(fù)雜化，有些是集合條件復(fù)雜化，但采用加強(qiáng)空間條件以減弱集合條件的研究尚屬少見，作者利用該思想進(jìn)行了相關(guān)研究.關(guān)于本文KKM定理的研究，學(xué)者Yang Z.,Pu Y.J.僅僅是在假設(shè)局部凸空間的前提下，對(duì)應(yīng)緊凸集給出了相應(yīng)的KKM定理，但對(duì)LC空間上對(duì)應(yīng)H-緊、H-凸集的研究尚屬少見.作者在LC空間上對(duì)應(yīng)H-緊、H-凸集給出了相應(yīng)的KKM定理,并在該KKM定理的基礎(chǔ)上在LC空間上給出了相關(guān)的極大極小不等式應(yīng)用，具有一定的理論意義.

2.預(yù)備知識(shí)

定義1.1[1]：若S中的恒等映像與常值映像同倫，則稱S是可縮集.

注：拓?fù)湎蛄靠臻g中每個(gè)凸集都是可縮集.

定義1.2[1]：設(shè)E是Hausdorff拓?fù)淇臻g，是E的非空可縮子集的某個(gè)族，A與A＇是E中一切有限子集，若滿足則稱為H-空間.

定義1.3[2]：設(shè)D是H-空間中的一個(gè)非空子集.若，則稱D是H-凸集；若A是可縮的，則稱D是弱H-凸集；若且是緊、弱H-凸集合，則稱D是H-緊集.

定義1.4[3]：設(shè)E是基γ的一致空間，且基γ具有滿足下列條件的一致結(jié)構(gòu)：

注：為了敘述方便，我們將l.c.-Hausdorff空間簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)C空間.

定義1.5[2]：設(shè)F是一個(gè)集值映射，若對(duì)Y的任意閉（開）子集是閉（開）的，則稱F：E→2Y上半連續(xù)(下半連續(xù)).若F即是上半連續(xù)又是下半連續(xù)，則稱F連續(xù).

定義1.6[4]：設(shè)X是LC空間 中的非空H-緊、H-凸子集.若對(duì)任意具有閉值的上半連續(xù)映射f:X→X都存在不動(dòng)點(diǎn)，則稱X具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì).

二、LC空間中的KKM定理

定義2.1[5]：設(shè) 是LC向量空間，X是E的非空H-緊、H-凸子集，F(xiàn)：X→E是一個(gè)集值映射，若對(duì)有限子集 ，存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)： ，使得對(duì)任意λ∈△n，存在一個(gè)i∈J（λ）使得 ，則稱F是廣義KKM映射.

引理2.1[6]：設(shè)是LC空間，若是非空H-緊的，T：E→2D是上半連續(xù)集值映射且對(duì)每個(gè)x∈E，T(x)是閉H-凸集，則T有不動(dòng)點(diǎn).

注：因?yàn)檫B續(xù)集值映射顯然是上半連續(xù)的，所以引理2.1對(duì)連續(xù)映射也成立.

三、常值形式的Ky Fan極大極小不等式

定義3.1[7][10]：設(shè)X是LC向量空間 中的一個(gè)非空H-緊、H-凸子集，若對(duì)任意有限子集 {y1,y2,…，yn} X，存在連續(xù)映射：，使得，存在 α∈(- ，+ )，α≥則稱 f（x，y） 關(guān)于 y∈X是 α-擬凹的.此時(shí) λ=（λ1,λ2, …λn）∈ ，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi>0}，：={（λ1,λ2,…λn）

定理3.1：設(shè)X是LC向量空間 中的一個(gè)非空H-緊、H-凸子集.若函數(shù)f:X×X→R∪{+ }滿足：

（1）對(duì)于y∈X，f（x，y）關(guān)于x∈X是下半連續(xù)的；

（2）對(duì)于x∈X，f（x，y）關(guān)于y∈X是α-擬凹的；

則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，f（x*,y）≤α.

證明：若 α=+ ，結(jié)論顯然成立.設(shè)- ＜α+ ，若集值映射F：X→2X滿足:對(duì)于y∈X，F(xiàn)（y）={x∈X|（fx，y）≤α}.又由條件（1）可得，對(duì)于y∈X，（fx，y）關(guān)于x∈X是下半連續(xù)的，則F（y）在X中是閉的.由條件（2）可得，對(duì)于任意有限子集{y1,y2,…，yn} X，存在一個(gè)連續(xù)映射，使得∈，存在α≥mini∈J(λ)f（（λ），y）i，此時(shí) λ=（λ1,λ2,…λn）∈，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi>0}.則 ，使得 α≥mini∈J(λ)f（（λ），y）i=f（（λ），yi0）.由F的定義可得 （λ）∈F（yi0），則F是廣義KKM映射.再由定理2.1可知，.若令 ，則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，（fx*,y）≤α.

四、函數(shù)形式的Ky Fan極大極小不等式

定義 4.1[8]：設(shè)是一個(gè) LC 空間，B E，YE.若對(duì)于任意B的有限子集{e1,e2,…，en}，存在一個(gè)連續(xù)映射：使得 （f)）≥mini∈J(λ)（fei,(λ)）對(duì)于任意的 λ=（λ1,λ2,…λn）∈ 成立，此時(shí)：{i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.則稱函數(shù) f：E×Y→R 在 B 上是廣義擬凹的.

定理4.1：設(shè)X是LC向量空間 中的一個(gè)非空H-緊、H-凸子集.若函數(shù)f:X×X→R滿足如下條件：

（1）對(duì)于任意給定的y∈X，f（x，y）關(guān)于x∈X是下半連續(xù)的；

（2）對(duì)于任意給定的x∈X，f（x，y）關(guān)于y∈X在X上是廣義擬凹的；

（3）對(duì)于任意x∈X，存在給定的γ∈R，使得f（x，x）≤γ.

則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，f（x*,y）≤γ.

證明：設(shè)集值映射 F：X→X 為：對(duì)于 y∈X，F(xiàn)（y）={x∈X|f（x，y）≤γ}.則對(duì)于任意給定的y∈X，由條件（1）成立可得，F(xiàn)（y）在X中是閉的.又因?yàn)閷?duì)于任意給定的x∈X，由條件（2）成立可得，對(duì)于任意X的有限子集{y1,y2,…，yn}，存在一個(gè)連續(xù)映射： →X，使得對(duì)于任意λ=（λ1,λ2,…λn）∈，存在f（(λ)）,(λ)≥mini∈J(λ)f（(λ),yi).

此時(shí)：：={（λ1,λ2,…λn）J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.

若存在一個(gè) λ0∈ 使得對(duì)于任意i∈J（λ0）有，則對(duì)于任意i∈J（λ0）有 （f(λ0),y）i＞γ.因此 （f(λ0),(λ0),）≥mini∈J(λ0)（f(λ0),y）i＞γ.

由于這與對(duì)于任意x∈X，f（x，x）≤γ矛盾，則對(duì)于任意λ∈，存在i∈J（λ）使得(λ)∈F（yi）.由定理2.1可得 .則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，f（x*，y）≤γ.

五、向量形式的Ky Fan極大極小不等式

定義5.1[9]：設(shè)是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，Z是一個(gè)帶有錐P的Hausdorff拓?fù)淇臻g，P是一個(gè)非空凸閉的尖錐且int P≠ ，并有A M，Y M.若對(duì)于任意有限子集{a1,a2,…，an} A，存在連續(xù)映射：→Y，使得對(duì) λ=（λ1,λ2,…λn）∈ ，存在 i∈J（λ）使得 f（（λ））∈（fai，（λ））+P，此時(shí) ：=（{λ1,λ2,…λn） ,λi≥0}，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.則稱函數(shù) f：M×Y→Z 在 A 上是 P-擬凹的.

定義5.2[9]：設(shè)是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，Z是一個(gè)帶有錐P的Hausdorff拓?fù)淇臻g，P是一個(gè)非空凸閉的尖錐且int P≠ .若對(duì)于在Z中任意具有0元的開鄰域V，在X中存在一個(gè)x0的開鄰域U，使得對(duì)于任意 x∈U，f（x）∈f（x0）+V+P.則稱向量值函數(shù) f：M→Z在x0∈X上是P-連續(xù)的.若在X的每一點(diǎn)上f都是P-連續(xù)時(shí)我們稱f在X上是P-連續(xù)的.

定理5.1：設(shè)X是LC向量空間 中的非空H-緊、H-凸子集.Z是一個(gè)帶有錐P的Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g，P是一個(gè)非空凸閉的尖錐且int P≠ .若映射f：X×X→Z滿足如下條件：

（1）對(duì)于任意給定的y∈X，f（x，y）關(guān)于x∈X是P-連續(xù)的；

（2）對(duì)于任意給定的x∈X，f（x，y）關(guān)于y∈X在X上是P-擬凹的；

（3）對(duì)于任意x∈X，f（x，x）int P.

則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，f（x*，y）int P.

證明：設(shè)集值映射 F：X→X 為:y∈X，F(xiàn)（y）={x∈X|f（x，y）int P}.對(duì)于任意給定的y∈X，設(shè)X的網(wǎng){xα}滿足xα→X,xα∈F（y）.若x F（y），則f（x，y）∈int P，因此在Z中存在0的開鄰域V使得f（x，y）+V int P.由條件（1）可得，對(duì)于任意給定的y∈X，X中x的開鄰域 U 使得對(duì)于 x0∈U，f（x0，y）∈f（x，y）+V+P int P+Pint P，則存在α0使得對(duì)于任意α>α0有f（xα，y）∈intP.由于這與 xα∈F（y）矛盾，則 F（y）在 X 中是閉的.

對(duì)于任意給定的x∈X，由條件（2）可得，對(duì)于任意有限子集{y1,y2,…，yn} X，存在連續(xù)映射：→X，使得對(duì) λ=（λ1,λ2,…,λn）∈，存在i（0λ）∈J（λ）使得此時(shí) ：=（{λ1,λ2,… λn）,λi≥0}，J(λ)：={i∈{1,2,…,n}|λi＞0}.若存在 λ0∈，對(duì)于任意 i∈J(λ0)，使得（λ0）（y）i，則對(duì)于任意i∈J（λ0），（f（λ0），y）i∈int P.因此 f（（（λ0）），（（λ0）））∈f（（λ0），+P int P+P int P.由于這與對(duì)于任意x∈X，（fx，x）P矛盾，則對(duì)于任意 λ∈，存在 （iλ）∈J（λ）使得（λ）∈F（y（iλ））.由定理2.1可得，，則存在x*∈X使得對(duì)于任意y∈X，f（x*，y） int P.

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