數學思考，需要怎樣的學習素材？

宋煜陽

[摘 要]數學思考需要好的學習材料為載體。在設計和選擇學習素材時，需要講求數學眼光，關注情境性素材的抽象轉化與直觀表征；需要講求整體感知，關注比照性素材的關系概括與類比推理；需要講求路徑習得，關注梳理性素材的方法追溯與策略提煉。

[關鍵詞]數學思考 學習素材

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-005

數學學習的本質是讓學生學會數學思考，而學會數學思考，通俗地說就是學會用數學的思維方式想問題。無論是學生想問題意愿的激發，還是想問題經驗方法的積累，學習素材至關重要。

那么，什么樣的學習素材能觸發學生的數學思考呢？筆者認為，這種素材首先需要“誘導性”，所蘊含的學習任務富有適度的挑戰性和吸引力，有助于學生獨立思考，體會數學思想和數學思維方式；其次具有“適切性”，其思維含量落點和學生的最近發展區是匹配的，多數學生通過“跳一跳”能夠“摘到桃子”。因此，在設計和選擇學習素材時，我們需要關注情境性素材的抽象轉化與直觀表征，促使學生“由表及里地想”；需要關注比照性素材的關系概括與類比推理，促使學生“居高臨下地想”；需要關注梳理性素材的方法追溯與策略提煉，促使學生“瞻前顧后地想”。

一、情境性素材，發展數學眼光，促進抽象轉化和直觀表征

用數學的思維方式想問題，首先得善于運用數學眼光從實際事物中發現蘊含的數學問題。而數學問題的發現、提取過程，是一個“由表及里”的數學化過程，它本身就是數學思考的行為，且需要敏銳的數學眼光。當然，數學眼光的培養需要長期的積累，尤其離不開借助情境性學習素材所進行的抽象轉化和直觀表征訓練。

一方面，數學眼光講求透過生活現象發現數學問題，能夠將具體的現實情境問題抽象轉化為數學問題。這就要求在選取和設計具體情境話題時，既要充分考慮素材對于學生的吸引力，又要關注到數學本質，有利于實現初步的數學化。比如，教學“圓的認識”時，特級教師朱樂平呈現了學生熟悉的套圈游戲，討論“一字形”、“正方形”、“圓形”三種站隊方案游戲的公平性，并即時把套圈游戲的實物情景圖抽象為“定點”的數學示意圖，學生自然從“哪種套圈游戲方案公平”的生活問題的討論進入“兩點之間距離是否相等”這一數學本質問題的思考。而特級教師黃愛華教學“圓的認識”時，呈現的是生活中常見的窨井蓋圖，拋出了“為什么窨井蓋要做成圓形”這一學生既熟悉又陌生的生活問題，學生即刻進入了圓的本質特點的思考與討論。兩位名師學習素材選取不盡相同，但都是情境性素材，且體現了貫通生活問題與數學本質的特點。

另一方面，數學眼光講求透過錯綜復雜的數學情境發現內隱的關鍵問題，能夠通過直觀表征將其予以外顯，逼近本質思考。這就要求我們對于本身比較復雜抽象、關鍵信息隱含的數學問題，要有意識地引導學生通過畫一畫、擺一擺等外在的表現形式來尋找思考的線索。比如，在人教版歸總問題“媽媽的錢買6元一個的碗，正好可以買6個。用這些錢買9元一個的碗，可以買幾個？”中，由于“這些錢”這條關鍵信息是隱含的，學生在解讀題意時往往感知刺激不強烈，一時無法捕捉到總量不變這一本質特點。教學中就需要介入線段圖表征題意，要在線段圖上反映出總量長度相等，又要用不等長的線段區分出“6元”“9元”價錢不一，學生往往在“等長”和“不等長”的圖示表達中顧此失彼。在表征中，學生容易出現類似下圖的典型錯誤：

此時圍繞“整條線段表示什么？”“同樣長是反映哪條信息？”“不同樣長想表達什么信息？”等系列問題開展討論，學生在外化的線段圖“說長道短”中梳理了各信息之間的內在聯系，較好感知了歸總問題的本質特點。

情境性素材的設計和選擇，既要善于將學生置身于“它和我們學過的什么數學知識有關聯”的思考，實現生活情境數學化；又要善于讓學生利用幾何直觀手段來描述分析數學情境，實現抽象數學問題直觀化，促發學生由表及里地想，從而培養和發展學生的數學眼光。

二、比照性素材，追求整體感知，促進關系概括和類比推理

學會思考的本質是學會概括、學會推理，而支持概括能力和推理能力最為核心的要素是關系的感知與聯想。教學中，要善于運用整體感知的方式，擴展感知面、拉長感知過程，讓學生在“是什么，不是什么”的對比材料和“它們之間有什么聯系”的類比材料中實現自我概括與判斷推理，充分發揮遷移內化的作用，培養學生的概括能力和推理能力。

比如，在概念教學中許多教師習慣于將概念屬性進行分解，給定若干個學習材料組織學生進行分步觀察比較、逐級抽取概念屬性，最終完成整個概念的歸納概括，學生經歷的是從局部到整體的過程感知。而概念各種屬性之間關系的發現，更有賴于整體感知，更需借助于整體性對比材料，讓學生置身于對概念全部屬性的一次性觀察、比較、分析和歸納概括。以認識長方形為例，可以呈現下列整組材料讓學生進行觀察思考。

（1）這些是長方形。

（2）這些不是長方形。

（3）哪些是長方形？

（4）你能用自己的話說一說什么是長方形嗎？

（5）根據自己寫下的定義，仔細檢查是否適合上面舉出的例子。

（6）反饋交流，歸納長方形特征。

上述概念的概括過程，教師先直接提供“這些是長方形”的肯定例證和“這些不是長方形”的否定例證，再提供一組具體例證讓學生進行判別，然后組織學生嘗試概括特征并提醒學生進行比對，最后進行交流概括。在這個對比分析過程中，一直是以圖形的整體特征來推進，促使學生從邊和角兩個核心要素對長方形與其他圖形之間關系作出分化與類化，有效提升了概括能力。

在規律、性質序列學習中，后續規律、性質的學習通常是采用類比推理的方式歸納、概括出新結論。教學中，要積極尋找新舊事物間相似性材料，激發學生在原有結論基礎上進行推理，試著猜想、概括新結論，并在舉例驗證中確認新結論，實現有意義的同化。比如，在比的基本性質之前學習了商不變的性質和分數的基本性質，學生已經積累了一些歸納規律（性質）的經驗，教學中可以通過“3÷5=（ ）÷10=12÷（ ）”、“■=■=■”一組材料讓學生進行回憶復習，并類比比的基本性質。

概念間關系的感知與聯想，“仰仗”于學習素材對于學習者的外在刺激和內化反映。在概念、法則、定律、性質等內容教學中，教師要積極搭建概括、推理交鋒的平臺，提供一組或幾組對比、類比材料，引導學生從整體、宏觀的角度居高臨下地思考，以切實提升學生分化、分類水平，發展自我概括、自我推理能力。

三、梳理性素材，著力路徑習得，促進方法追溯和策略凝練

當學生明確要想的數學問題后，思考的方法就尤為重要了。教學中，要充分讓學生經歷想問題的過程，并通過學習素材的梳理，體會想問題的思路與方法，積累想問題的經驗，形成一些想問題的策略。根據問題解決的步驟，想問題方法與策略的回顧梳理，一般有問題解決前的啟蒙式梳理和問題解決后的反思式梳理兩種情形。

問題解決前的啟蒙式梳理，一方面通過學習素材回憶原先問題解決的基本思路和一般步驟，考量其能否在新問題上加以借鑒，起到定向作用；另一方面，如果原有的思路方法不能在新問題中直接應用，兩者間的缺口或困難是什么必須加以明確，以起到聚焦作用。比如在用假設法解決工程問題中，教材安排了“一條道路，如果甲隊單獨修，12天修完；如果乙隊單獨修，18天才能修完。如果兩隊合修，多少天能修完？”的實際問題。前測顯示，絕大多數學生由于第一次面臨這種新問題，缺乏方法層面的經驗，無法自主產生“假設法”這一策略。教學中，可以先通過“24噸救災物資運送到魯甸，甲運輸公司6天能運完，乙運輸公司只要3天，如果兩個運輸公司一起運，幾天能運完？”具體問題的解決和思路步驟分析，再給出上述問題，促發學生聯想到“增加具體路長這個條件，新問題就轉化為老問題”這一節點，此時就有部分學生自主萌生假設法。又如，圓的面積公式推導中，首先回顧平行四邊形、三角形和梯形面積公式推導的過程，得出轉化方法和推導的步驟，然后再組織學生在原有的割補法和倍拼法中進行思辨“轉化方法中的割補法和倍拼法，你覺得對圓來說哪一種方法更合適？為什么？”這就是一個探究方法定向選擇的梳理過程。

問題解決后的反思式梳理，重在歸類比較、融會貫通。通過反思“我們剛才解決問題的方法和原來的方法有什么相同和區別？”“如果碰上類似的問題，該如何解決？”等問題，促使學生對一類問題解決的方法進行梳理，從而提升能力。比如，“三位數乘兩位數”是在多位數乘一位數、兩位數乘兩位數基礎上學習的，也是整數乘法學習的最后階段，教學中有必要圍繞“影響整數乘法筆算的基本核心要素有哪些”進行計算規則的提煉和歸類。可以通過一組反思問題來梳理：問題1“三位數乘兩位數與三位數乘一位數在計算方法上有哪些異同？”組織學生明確兩者在乘的順序（數位上）是一致的，不同的是積的層數不同；問題2“三位數乘兩位數與兩位數乘兩位數在計算方法上有哪些異同？”組織學生明確兩者都需要兩層積疊加，不同的是后者每層積要少乘一個數位；問題3“剛才我們是從哪幾個方面對筆算乘法進行比較思考的？”引導學生發現，整數筆算乘法主要從乘的順序、積的疊加層數兩個核心要素對計算法則進行關注。此時，再拋出問題4“如果遇上三位數乘三位數筆算乘法，你認為在計算方法上會有什么特點？”學生已經能夠水到渠成地從整數乘法的核心要素進行思考。

事實上，無論是學習方法的追溯還是解決問題策略的提煉，都需要梳理性學習材料加以刺激，只有在“原來怎么想”、“現在怎么想”和“以后怎么想”的不斷溝通梳理中，數學思考的意識和能力才能日益增長。

（責編 金 鈴）