淺談“數學思考”的實踐路徑

袁紅

[摘 要]數學思考水平往往決定了數學學習的水平，而內隱的數學思考總會外化在實踐行為中，因而，透過學生具體的學習表現來更好地關注和把握數學思考的實際狀況，可以讓數學思考的培養更為有效。從“看得見”、“說得清”、“理得順”、“悟得懂”等幾個方面簡析培育學生數學思考能力的實踐路徑。

[關鍵詞]數學思考 數學學習 實踐路徑

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-003

義務教育數學課程標準修訂后，人們對數學思考的關注超乎以往。個人以為，數學學習重在數學思考，沒有數學思考就沒有實質上的數學學習；沒有對數學思考的關注和培養，就沒有真正意義上的數學教育。

關于“數學思考”，可謂仁者見仁、智者見智。有人認為，數學思考就是在數學學習活動過程中所進行的思維活動，以及通過這樣的活動所積累的思維方式和思想方法（《數學教學，請與思考同行》顧志能著）。也有人認為，數學思考就是在面臨各種問題情境時，能夠從數學的角度去思考問題，發現其中存在的數學現象，并運用數學的知識與方法去解決問題（《數學思考，引領學生走進數學之門》張鋒著）。盡管說法不一，但大同小異，都強調了數學思維活動及其蘊含的數學思想方法，著重在學習者采用一定的數學方法，按照一定的數學邏輯，進行某種數學活動并產生某種數學推斷的學習過程。

從數學學習實際來看，因為兒童個體的差異性，使得他們即便在面對同一學習內容時，其數學思考也會呈現出多樣性；因為成長具有階段性（幼兒園、小學、初中、高中等），使得數學思考的培養具有一定的層次性；因為文化的多元性，使得數學思考的研究，又呈現出它的豐富性。當然，數學思考的研究不能“憑空而論”，得要聯系具體的學習情境，找到實踐路徑，才會生動起來，鮮活起來。

一、數學思考要“看得見”

所謂“看得見”，就是要通過一定的方式讓內隱的數學思考外化出來，能“觸摸”到。只有看到了，觸摸到了，它的差異性、豐富性、多樣性、多元性、階段性等特征才能一一呈現出來。外化的方式有多種，可以是文字記錄，可以是圖表繪制，也可以是操作演示，還可以是語言講述，等等。

有位教師給學生布置了一道課前預習題：“你會算9+4嗎？在下面的空白處表示出你的思考過程。”學生提供的學習材料，可謂異彩紛呈。下圖展示的是四位學生的預習單。

仔細分析這幾張預習單，可以發現，不同的學生思考這一問題的角度是不一樣的，解決的方式也不盡相同，思維的水平也有高低：有的用算式來表達，有的畫出圖解，同樣是圖示，還有算珠圖、分成圖、圓圈圖等；有的注重多樣化，有的注重序列化；有的著重體現結果，有的還注重過程。這種既具多樣性又具差異性的素材，正是數學學習的極好資源，通過學生對自己解法的詳細解釋，教師穿針引線的點撥，“湊十法”“滿十進一”等計算要點定然會躍然紙上。總之，只有把學生內部的思考外化出來，我們才能更真實地把握到他們的數學思考狀況，并據此引導教學的方向。

二、數學思考要“說得清”

所謂“說得清”，就是鼓勵學生把自己的思考用語言（也包括圖解、符號、文字、演示等）表達出來。表達的過程，是對自己的思考再一次審視、修正、完善的過程，也是互相接納、彼此取長補短的過程。比如，解決“小軍有8個小棒，小麗有12個小棒，怎么能讓他們相等呢？”這一問題，第一個學生一邊擺小棒一邊說：“從12根小棒里面拿2根放到8里面，就一樣多了。”第二個學生說：“小軍和小麗的小棒相差4，4的一半就是2，小麗拿2根給小軍。”很顯然，第一個學生的表述幾乎是純生活的語言，而第二個學生明顯比第一個學生更具“數學味”，直接從數量的角度（相差數的一半）來思考。不過，生活味也好，數學味也好，只要能清楚地表述自己的思維過程，就非常棒了，畢竟二年級的學生還很小。在此基礎上，第三個學生站起來說：“也可以給小軍加5根小棒，小麗加1根小棒，這樣兩個人都是13根。”這種思路，一下子打開了其他學生的思維：“小軍加6，小麗加2”“小軍加7，小麗加3”……原來這個問題竟然有無數種解決方法，學生都露出驚喜的神情。

所以，說得清，有一個從模糊到清晰、從隨意到規范、從比較到辨析、從粗淺到深入的過程，在這個過程中，學生的數學思考能力得到訓練，數學的學科價值也得到充分顯現。

三、數學思考要“理得順”

所謂“理得順”，就是當學生多樣性、差異性、多元性的數學思考出現后，要能夠去粗取精、化繁為簡，迅速地理順各種思考之間的關聯、異同、層次，從宏觀和整體上建構起學習認識。比如上述小軍、小麗移動小棒的問題，在總數不變的情況下，似乎很簡單，答案很固定，拿相差數的一半就夠了。但是在總數變化的情況下，解決的方法就是無數，不只是第三個學生“把相差數補全了無限地加”，還可以反過來做減法——把相差數去掉：“小麗減4，兩人都為8”“小軍減1，小麗減5，兩人都為7”“小軍減2，小麗減6，兩人都為6”……直至全部去掉，兩個人都變成0。這種思考，同樣可以擴展到無數種方法：小軍減9，小麗減13，兩人都是-1；小軍減10，小麗減14，兩人都是-2……這樣想來，“減”和“加”的思路看起來是反向的、對立的，實際上又是統一的。當然，教學最重要的就是把握“度”，如果學生的基礎較為薄弱，就完全沒有必要講這么深；相反，如果學生已經到了“跳一跳摘到果子”的狀況，教師就可以往上“帶一帶”了，數學學習本來就應該提倡開放、提倡靈活，這也很好地體現了數學思考“階段性”要求。當然，學生是否“理得順”在很大程度上取決于教師自己是否“理得順”，要對課堂有很強的把握能力，進與退，取與舍，優與劣，都靠教師的把握。從這一角度來看，教師永遠是課堂的“英雄”——幕后英雄！

四、數學思考要“悟得懂”

所謂“悟得懂”，就是讓學生在感悟中慢慢懂得數學是怎么回事，數學學習是怎么回事。有人說，數學是“一是一，二是二”的，但是數學學習目標可以存在一定的模糊性，尤其是在數學思考、數學思維、數學思想、數學情感方面，不必過于僵化和絕對。

在一年級學習“9加幾”時，讓學生從情境圖里得出“9+4”這一算式后，學生在操作、交流的過程中出現“盒子里可以放10個蘋果，從外面拿1個放到盒子里，盒子里就有10個了，這時候盒子外面還有3個，所以9+4=13”“通過數的方法得到9+4=13”等多種方法。此時，交流算法的多樣化很有必要，但不能止于此，還應該讓學生思考“相同點是什么”“最簡便的方法是什么”，學生就漸漸悟出“把9變成了10，把9加幾變成了10加幾”，并由此感受到數學學習就是要把復雜的知識變成簡單的知識，把沒學過的知識變成自己學過的知識。有了“9加幾”的學習基礎，學習“8、7加幾”時，學生就會有意識地將其比照“9加幾”這一已經學過的知識來學習。有了轉化、遷移的經驗，到了學習“6、5、4、3、2加幾”，學生就會更加得心應手。此刻的得心應手，完全來自于前面感悟的點滴積累。

由于學習過程充滿著很多的不確定性，具有無限的可能性、生成性，因而，數學課堂教學中所有呈現出來的東西，可以有一部分東西不是這堂課每個學生都要達到的要求，甚至根本就不是這堂課教師預先想要做的事，但是，這樣的事情在特定的情景下一旦做了，學生就可能會從中悟出點“道”。比如說，上述小軍、小麗移動小棒的題目，在研究學生解決問題的各種思考過程中，是否讓學生感覺到“如果改變總數，一個無限開放的世界就在等著我？”如果感覺到了，那就足夠了，今天感覺一點，明天感覺一點，今年感覺一點，明年感覺一點，小學感覺一點，中學感覺一點，久而久之，數學思維、數學思考的感覺就產生了。數學思維、數學思考的感覺有了，數學素養就慢慢生長出來了。俗話說“教育是慢的藝術”，學習抽象性很強的數學尤其要“春風化雨”“潤物無聲”！

總的說來，數學思考是數學的靈魂，也是數學學習的關鍵和核心，“看得見”“說得清”“理得順”“悟得懂”是拾級而上的過程，又是相互交融彼此促進的過程，抓住了它們，“數學思考”的實踐路徑也就清晰了，順暢了。

（責編 金 鈴）