論析數學學習的“伸展與跳躍”

李建梅

[摘 要]數學是培養學生理性思維和想象能力的學科，數學教學是培養學生理性氣質、適應學生個性發展需要的基礎工作。教學只有順應知識的邏輯起點、尊重和接納學生的現實起點，有效實施“因材施教”，才能實現“不同的人在數學上得到不同的發展”的目標。學生的成長只有越過了學科本身和現實水平的瓶頸，才能實現自主性的伸展與跳躍。

[關鍵詞]數學學習 伸展 跳躍 成長

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）11-005

“學有起點，但無終點。”這是對教育真諦的最好詮釋。無論水平高低、能力強弱，在學習過程中學生對數學仍能保持一份興趣，仍有思考的熱情、溝通的欲望，仍有堅韌不拔的毅力、謹慎認真的品質，學生的生命就能獲得伸展與跳躍，而這種伸展與跳躍就是學生最好的成長。

[案例一] “謝式做法”的“橫空出世”

教學除數是小數的除法豎式，形如“4.2”時，一般會指導學生劃去算式中的小數點轉化成除數是整數的除法，這也是教材中的常規做法，但是豎式中原有的小數點和移動后的小數點的彼此干擾增加了計算難度，我一直也沒有想到更好的解決辦法。

前不久教學除數是小數的除法時，我突發念想：什么都不講，學生會怎么做？

根據已有經驗，學生懂得根據商不變的規律把原有算式“7.98÷4.2”轉化成除數是整數的除法進行計算，于是我讓學生嘗試豎式計算。結果不同能力水平的學生呈現了不一樣的狀態：一部分學生因沒有先例可循無從下手，示意他們看課本，但課本上也只有4.2的提示，沒有具體做法，面對這個變形的豎式，他們一樣手足無措；一部分學生開始嘗試利用原有豎式“4.2”步步揣摩（是基于已有除法經驗的合情推理，有一定的思維難度）；還有幾名學生索性寫成“420”后直接計算；只有一名姓謝的學生直接寫成轉化之后的除法豎式“42”，并很快完成，我把它命名為“謝式做法”。靜靜的課堂，火熱的思考，各種想法都在悄然醞釀。

縱觀全班，沒有發現一名學生寫成教材中的格式，看來教材推廣的豎式不會自然生成。我先講解了教材中的豎式，再把幾種不同的做法集中呈現在黑板上，讓學生自己登臺講述思路。在一一解讀與比較后，學生明白了書上的豎式書寫既保持了原有算式的樣式，又有轉化之后的面貌，前后變化一目了然，但仍覺得不習慣而且有點繁，不如“420”和“42”的豎式利落清爽。我對于“420”和“42”哪個更好并沒有做出定論，而是讓學生自由選擇適合自己的豎式。其實，好與不好得看具體情況，再說，除了除數的大小變化，就此題而言它們沒有明顯的難度差別。

隨著情況的復雜、練習的深入，少數學生堅持采取書上的常規做法，大部分學生開始趨向于“謝式做法”。教材呈現的只是個例子，適合學生的才是最好的。受學生的感染，我也在不知不覺中開始經常運用“謝式做法”了。這個姓謝的學生學習僅僅處于下游水平，卻這絲毫沒有影響“謝式做法”的“橫空出世”，“謝式做法”的誕生讓他足足“美”了一個星期，這樣的體驗何嘗不是他學習經歷中的一次優美伸展與華麗蛻變？

回顧“除數是小數的除法”的學習過程，教師介入很少，因為教師的“后退”成就了一個“學習共同體”，學生獨立思考、自然生成、互相啟發、彼此影響。無論是什么層次的學生都在與他人的交流中增強理解，在比較辨析中認同和接納，在自我反思和同伴互助中豐富認識，發展能力。“謝式做法”的“橫空出世”正是在這樣的共同體中產生并得到普及，這正是學習的意義。

[案例二]直逼本質的數學發現

首先給出五年級教材中的一組習題：先算一算，再比較每組題的得數，你有什么發現？

4.8÷0.1= 2.6×0.5= 1.5÷0.25=

4.8×10= 2.6÷2= 1.5×4=

學生的描述不外乎：得數相等；一道是乘法，一道是除法；結果大于或小于被除數（或第一個因數）……顯然，這些表象描述不夠全面深入且不抵及編者意圖。

題目涉及的要素比較復雜，我不再指望更有價值的發現，準備深度介入。突然，小林的手在我面前使勁地搖晃，大有不喊她回答絕不罷手之意。盡管知道這是個有點沖動的女孩，經常會有片面的理解和莫名的錯誤，但為了不挫傷她的積極性，還是讓她來回答問題。小林頗為激動地說：“我發現除了大家說的，還有一個秘密——就是第一個算式里的除數和第二個算式里的后一個因數的積全部是1。”感覺其他同學還不能明白，她忍不住走上講臺對著算式比劃著、講述著……隨著她的闡述，教室里有了短暫的沉寂，隨即響起了一陣陣會意的聲音，大家都明白了！

對于還沒學習倒數的五年級學生，能有這樣的發現已是最接近本質的思考了。我有責任讓小林感受：重要的不是知識的發現，而是知識的傳遞。于是我要求其他學生運用小林發現的規律各自寫了一組算式，并再次計算驗證，緊接著讓他們把每組題中的第二個數交換位置，學生發現規律依然成立。數學的奇妙和有趣，以及它的再生長特點在此盡顯。基于此，我提示學生，小林的發現之所以了不起，是因為她是從兩個算式之間的關系來思考的，而“關系”是把握一切數學的關鍵和核心。

毋庸置疑，小林在這節課上某個時段是深入觀察與思考的，是努力交流與溝通的，是想方設法傳遞知識分享智慧的。生命的生長與跳躍有時就是一個機會的把握、一個平臺的搭建，我不由得竊喜：我成就了一個女孩光芒四射的時刻，讓一直不自信她有了偉大的發現，有了“重生”般的驚喜。

上述兩個案例，雖說都是計算教學，但是，它對我們更好地認識兒童的數學學習帶有普遍性的啟示意義。

首先，數學學習過程應該是一個舒展的、自由表現的過程。俗話說，閑暇出智慧。學習者只有在自由而寬松的氛圍中，才能以最真實的狀態呈現在教師面前。只有每個學習者的思維、精力都展現出來，教師才能把握到他們最真實的起點。存在的都是合理的，如果學生的學習起點是多樣化的、有層次的，那教學就應該從這種差異出發，在平淡中開掘新奇，從獨特中尋找精彩，將學習置身于充滿挑戰、思辨、探究、解惑、發現的場景中，學習自然就變得有意思、有意義。

其次，數學學習過程應該是一個伸展的、跳躍的過程。伸展意味著全方位的打開——知識的、能力的、思維的……只要全身“每個細胞”都被激活了，那學習就充滿著無限的張力。數學學習不是在平地上行走，而是要拾級而上，“跳一跳，摘到果子”。這“跳”，是突破原有的定式，是另辟蹊徑的發現，是靈感爆發后的豁然開朗，是學習成功后的激動喜悅。

總之，每個人生命的最初姿態本不相同，我們沒有理由要求大家齊步向前。教育的要義是激勵和喚醒：喚醒學生內在的自覺，激發學生潛在的能量。每個獨特的生命個體，應該經歷不一樣的生命體驗，不同能力的學生應該形成不一樣的張力，從而形成豐富多彩的生命姿態。學習不是決出勝負的一場比賽，讓部分歡喜部分憂愁；學習應該是敲響促進兒童生命拔節的鼓點，讓兒童汲取向上生長的精神力量；學習就是從現實起點走向可能終點的伸展和跳躍。

（責編 金 鈴）