基于觀測器的不確定非線性系統L1自適應控制

齊曉慧，甄紅濤，董海瑞

（軍械工程學院無人機工程系，河北石家莊050003）

基于觀測器的不確定非線性系統L1自適應控制

齊曉慧，甄紅濤，董海瑞

（軍械工程學院無人機工程系，河北石家莊050003）

針對一類嚴格塊反饋型不確定非線性系統，采用反步設計方法提出了一種新的基于滑模狀態觀測器的L1自適應控制方案。由于系統狀態不完全可測，首先設計滑模觀測器對系統狀態進行估計，并分析觀測器的收斂性，在此基礎上，通過反步法得到系統的理想控制律。為了消除反步控制中的“項數膨脹”，引入非線性跟蹤微分器來提取理想控制律的微分信號。為提高系統響應的瞬態性能，消除控制輸入的高頻振蕩，引入L1自適應控制對控制律進行改進，通過理論推導證明了閉環系統的穩定性。最后通過數值仿真算例驗證了所設計控制方案具有快速的收斂性、良好的跟蹤性等期望性能。

非線性系統；滑模觀測器；L1自適應控制；反步控制

0 引 言

在現代控制領域中，隨著被控對象越來越復雜，多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）不確定非線性系統的控制問題得到了廣泛關注［1－3］。文獻［4］針對一類含有未知控制增益矩陣和輸入非線性的系統設計了一種變結構自適應控制方案，保證了閉環系統的全局一致有界。文獻［5］針對一類含有非線性不確定性的MIMO系統設計了一種L1自適應控制方案，保證了系統的瞬態響應和控制輸入的有界性。嚴格塊反饋動態系統是一類常見的非線性系統，現實中很多被控對象都可以轉化成此種形式，已有許多學者對此類系統的控制進行了研究［6－8］。文獻［9］針對有翼導彈的飛行控制問題，設計了一種帶有自適應參數近似的塊控反步飛行控制器。文獻［10］針對一類含有輸入約束的不確定非線性系統設計了一種自適應反步控制方案。文獻［11］針對一類含有廣義不確定性的MIMO系統設計了一種塊控反步控制方案。

前面所討論的各種非線性設計方法都沒有考慮系統具有不可測狀態的情況，但是在很多實際問題中，往往不能測得全部狀態變量，或由于經濟或技術原因有一些狀態變量不能測量［12－13］。在此情況下要想使上述非線性設計方法仍能發揮作用，需要設計狀態觀測器來根據測得的輸出量估計出各狀態變量［14－15］。非線性系統狀態觀測器的設計相對線性系統要復雜得多，目前還沒有形成比較通用的設計方法，常用的方法有：類Lyapunov方法、高增益觀測器、擴張觀測器、自適應觀測器和滑模觀測器等［16－18］?；Ｓ^測器對系統的形式沒有特殊的要求，其魯棒性只要求建模誤差有界，所以一經提出就在工程實際中被廣泛應用［19－20］。本文針對一類嚴格塊反饋不確定非線性系統，基于反步法設計了L1自適應控制器，同時對系統不可觀測狀態設計了非線性滑模狀態觀測器。最后通過仿真算例驗證了本文所設計控制方案的有效性。

1 問題描述

考慮如下嚴格塊反饋型不確定非線性系統

本文的控制目標為設計控制器使得在存在不確定性σ（t）的情況下，系統（1）的輸出y能夠良好跟蹤參考輸入由于僅有輸出狀態x1可測，為了全狀態反饋控制的需要，首先設計滑模狀態觀測器對未知狀態進行估計。

式中，xi∈Rm（i＝1，2，…，n）為狀態變量，x1可測，初始狀態‖x－n（0）‖≤ρ0＜∞；y∈Rm為系統輸出；u∈Rm為控制輸入；fi∈Rm為非線性函數；gi∈Rm×m為控制增益矩陣；σ∈Rm為未知時變干擾。

首先給出以下假設：

假設1 系統不確定性σ（t）有界，且存在有界常數dσ＞0，使得

假設2 非線性函數fi的偏導數分段連續且有界，且存在有界常數df＞0，使得

2 觀測器設計及收斂性分析

2.1 觀測器設計

對系統（1），設計如下滑模觀測器：

則式（1）減去式（4）可得估計誤差動態為

則

定義滑模函數為

下面介紹k2，…，kn的選取方法。

式（6）是一個具有不連續項的微分方程，根據Philippov等效理論［19］，其右側可等效為滑模面兩側的兩個系統的凸組合：

式中，0≤λ≤1；1≤i≤n－1；1≤j≤m。當系統進入滑模面之后，從而

求解式（11）得

將式（12）代入式（10）得滑動面上的誤差動態方程為

下面將根據式（13）來確定ki（2≤i≤n），使得觀測誤差漸近收斂，且具有一定的動態品質。根據文獻［20］的思想，采用Jacobian線性化的方法。將誤差系統（13）在觀測器的工作點＾xi，2≤i≤n附近線性展開得

式中

注1 該方法適用于工作狀態變化范圍不大的非線性系統，對于在較大范圍內運行的非線性系統，可以采用分段線性化的方法得到切換增益，從而獲得觀測誤差在全局范圍內的一致性［19］。

2.2 收斂性分析

由于AHi為Hurwitz矩陣，因此存在正定矩陣P＝PT滿足Lyapunov方程其中Q＝QT為任意正定矩陣。

定義Lyapunov函數

沿著系統軌線（14）對Vs求導得

將式（14）代入式（16）得

根據假設1及不等式λmin（Q）‖x‖2≤xTQx，其中λmin（Q）為Q的最小特征值，式（17）可轉化為

3 L1自適應反步控制器設計及穩定性證明

控制目標為根據滑模觀測器（4）得到的狀態估計信息，設計L1自適應反步控制器，實現系統輸出y對參考信號的跟蹤，并滿足一定的性能指標。為此先給出以下假設。

假設3 系統（1）的控制增益矩陣gi的逆矩陣存在且有界，即存在有界常數dg＞0，使得

3.1 控制器設計

控制器設計采用反步技術方案，具體設計步驟如下。

式中，L1＝＞0。

選取Lyapunov函數

V1沿著系統軌線（22）的時間導數為

下一步將使e2＝0，則˙V1＜0。

步驟2 選擇虛擬控制＾x3的理想控制量為

式中，L2＝＞0。

定義跟蹤誤差e3＝－，考慮狀態觀測器（4）的第2個子系統得

選取Lyapunov函數

V2沿著系統軌線（26）的時間導數為

下一步將使e3＝0，則

選取Lyapunov函數

Vi沿著系統軌線（30）的時間導數為

Vn沿著系統軌線（34）的時間導數為

下一步將使ei＋1＝0，則

步驟n 選擇理想控制量為

考慮狀態觀測器（4）的第n個子系統得

式中，Ln＝LTn＞0。

選取Lyapunov函數

由式（36）可知，控制量取（33）時，可實現系統（4）的漸近穩定，并實現系統輸出對參考信號xd1的漸近跟蹤。

然而，由式（29）和式（25）可知，虛擬控制信號xdi中含有符號函數sgn（·），不易求得其導數，而且對虛擬信號的求導會導致“項數膨脹”，從而造成計算載荷過大。為了消除這些問題，引入非線性跟蹤微分器來提取微分信號。

式中，r＞0為設計參數；x（t）為輸入信號；z1為輸入信號的跟蹤值；z2為提取的微分信號。文獻［21］已經證明該跟蹤微分器能夠快速跟蹤輸入信號與微分信號。

引入非線性跟蹤微分器后，虛擬控制律xdi和理想控制律ud可重新表示為

考慮狀態觀測器（4）的第n個子系統，引入非匹配不確定項ε（t）補償滑模觀測器的逼近誤差和非線性跟蹤微分器的跟蹤誤差：

式中，不確定項ε（t）是一致有界的，存在已知緊凸集Δ使得ε（t）∈Δ，而且存在有界常數dε＞0，使得

本步的控制目標為設計工程上易實現的L1自適應控制u保證系統（39）的輸出跟蹤，且具有良好的瞬態性能。

為了得到自適應律，首先定義狀態預測器：

定義自適應律為

式中，f為光滑凸函數

式中，θmax為向量θ的范數最大值；εθ＞0為投影容錯界。

設計L1自適應控制律為

的Laplace變換；C（s）為穩定嚴真傳遞函數矩陣，其直流增益C（0）＝I，C（s）的選擇必須滿足以下L1范數條件［23］：

式中，G（s）＝（sI－Ag）－1（I－C（s）），L＝max｛dσ，df｝。

3.2 穩定性證明

定義預測誤差，由式（37）和式（41）得預測誤差動態

選取Lyapunov函數

V對時間求導得

將式（36），式（48）和式（49）代入式（51）得

投影算子Proj（·）保證ε（t）∈Δ，因此下式成立

即

由式（52）和式（54）得

因此

此外，根據式（38）有

ε∈Δ

將式（57）、式（58）代入式（52）得

假設存在有界常數de使得‖ei（0）‖2≤de＜∞，且z（0）＝0，則

即系統內所有信號均有界，因此系統是穩定的。且由

得系統對指令信號xd1的跟蹤誤差e1收斂于零的一個鄰域：

且由式（62）可以看出，通過調整參數的值可以調節收斂域的大小。

4 數值仿真

為了驗證本文所提出控制算法的有效性和實用性，本節采用文獻［24］給出的四旋翼直升機姿態運動模型作為實例進行數值仿真。定義分別表征姿態角和角速度，四旋翼直升機姿態運動模型滿足如下狀態方程：

根據文獻中的模型參數，式中

不確定項σ（t）表征模型參數不確定性（如轉動慣量）和外部干擾（如陣風等）。

控制目標為在四旋翼角速度不可測的情況下，設計基于狀態觀測器的L1自適應控制器，使得四旋翼的姿態能夠跟蹤參考輸入：

開始時間設為t＝1，初始狀態x01＝［000］T。

所設計的魯棒觀測器和L1自適應控制器參數設置如下：

仿真結果如圖1～圖6所示。圖1和圖2分別為狀態x1和x2的實際值和觀測值。由圖1和圖2可知，本文設計的魯棒狀態觀測器可以有效估計出系統的狀態量，收斂速度較快，觀測誤差較小，狀態x1的觀測效果比x2的觀測效果好。圖3為系統輸出跟蹤效果，圖4為跟蹤誤差。由圖3可見，在系統具有不確定性的情況下，輸出仍能很好地跟蹤參考輸入。由圖4可知，跟蹤誤差保持在±0.1的范圍內。圖5為控制輸入u，其時間導數如圖6所示。由圖5和圖6可知，系統控制輸入量較小且比較光滑，這是由于控制通道加入了低通濾波器的緣故，這降低了對系統執行器件的要求，更有利于工程實現。

圖1 x1實際值與觀測值

圖2 x2實際值與觀測值

圖3 系統輸出值與參考輸入值

圖4 輸出跟蹤誤差

圖5 控制輸入u

圖6 控制輸入u的時間導數

5 結 論

本文基于滑模狀態觀測器和L1自適應控制理論，針對一類狀態不完全可測的嚴格塊反饋型不確定非線性系統，用反步設計方法設計了一種新的控制方案。針對含有非匹配不確定性的原系統，設計了滑模魯棒觀測器對不可測狀態進行了估計，并在理論上證明了該觀測器的全局收斂性。引入了一個二階非線性跟蹤微分器來提取虛擬控制律的微分信號，消除了“項數膨脹”問題，減小了計算量。為了提高系統響應的瞬態性能和控制輸入的平滑性，在反步控制的基礎上引入了L1自適應控制，并對閉環系統的穩定性進行了證明。通過在四旋翼直升機姿態運動模型上的數值仿真，驗證了該控制方案的有效性和良好性能。

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L1adaptive control for a class of uncertain nonlinear systems based on observer

QI Xiao-hui，ZHEN Hong-tao，DONG Hai-rui
（Department of UAV Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

A novel L1adaptive control strategy based on a sliding mode observer using a back-stepping design method for a class of uncertain nonlinear systems in a strict block feedback form is presented.Due to the incompletely observable system states，a sliding mode observer is designed to estimate system states，and the convergence is analyzed.Moreover，the ideal control law is derived through the back-stepping method.In order to overcome the“terms explosion”problem，a nonlinear tracking differentiator is used to extract differential signals of virtual control.In order to improve the transient performance of system response and eliminate the highfrequency chatter of the control input，the L1adaptive control is introduced to improve the control laws and the stability of the system is proved.Finally，a numerical simulation is given to demonstrate expected performance of the proposed control scheme.

nonlinear system；sliding mode observer；L1adaptive control；backstepping control

TP 273

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.23

齊曉慧（1962－），女，教授，博士研究生導師，主要研究方向為自適應控制理論、無人飛行器導航與控制。

E-mail：zuoluo＿009＠163.com

甄紅濤（1986－），男，博士研究生，主要研究方向為非線性系統自適應控制。

E-mail：zhenhot＠163.com

董海瑞（1977－），男，講師，主要研究方向為無人飛行器導航與控制。

E-mail：824718646＠qq.com

1001－506X201508－1866－08

網址：www.sys－ele.com

2014－05－05；

2014－09－20；網絡優先出版日期：2015－01－06。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150106.1157.001.html

軍隊預先研究基金資助課題