基于e-σ-modification混合自適應律的魯棒級聯式側滑飛行控制研究

程鵬飛，吳成富

（西北工業大學無人機特種技術重點實驗室，陜西西安710065）

基于e-σ-modification混合自適應律的魯棒級聯式側滑飛行控制研究

程鵬飛，吳成富

（西北工業大學無人機特種技術重點實驗室，陜西西安710065）

針對常規布局飛機舵面故障下的側滑飛行控制問題，提出一種基于e-σ-modification混合自適應律的級聯式側滑飛行控制方法。在滾轉角和偏航角速率響應時間遠小于側滑角響應的假設下，證明了側滑角級聯回路的穩定性并給出調節時間ts與PI參數的關系。在擾動或未建模舵動態下，針對相對階等于1和大于1的滾轉角和偏航角速率通道分別設計模型參考自適應控制器（model reference adaptive controller，MRAC）。利用李雅普諾夫方法證明了在e-σ-modification律下魯棒自適應控制內環的有界穩定，并給出在e-modification律基礎上能夠進一步減小輸出誤差和控制參數誤差界限的自適應增益選擇方法。仿真驗證表明在允許的舵偏范圍內，該側滑飛行控制方法不僅具有較滿意的側滑角保持和跟蹤性能，而且能夠有效減小上述誤差界限，有效性得以驗證。

舵面故障；e-σ-modification混合自適應律；級聯式側滑飛行控制；魯棒自適應控制；誤差界限

0 引 言

如今新一代高可靠戰斗機、大型客機、大型運輸機、高空長航時無人機均采用新一代電傳飛行控制系統。為了提高飛機的生存能力，高可靠容錯飛行控制理論和技術得到了世界各國的重視。飛機進行大包線、大機動飛行，以及期間發生舵面卡死等故障時，飛機的傳遞特性將會發生諸多變化，反映在傳遞函數上表現為零極點遷移、高頻系數改變、相對階改變。只針對有限工作點、控制參數固定的傳統PID姿態控制器對這些變化的適應能力明顯不足。雖然Gain-Schedualing方法在歷史上獲得成功并被廣泛認同，但是激增的設計點使設計過程單調繁瑣，相對笨拙和不智能。20世紀80～90年代，基于輸入誤差、輸出誤差、參數辨識的傳統模型參考自適應控制方法被大量研究，全系統信號有界性得以保證。隨后能夠適應噪聲和未建模動態的魯棒自適應控制算法開始涌現，基于死區、平均技術σ-modification律、e-modification律的方法不僅逐步地改善魯棒性能，使得系統信號在理想情況和擾動情況下至少保持有界性，而且使得整個系統的暫態響應特性得到改善［1－9］。近年國內外部分院校的學者不僅對容忍故障的自適應飛行控制算法進行了進一步研究［10－21］，而且研究了如何改進自適應控制結構和自適應律，從而增強暫態性能［22－24］。本文以解決常規布局飛機在副翼舵面卡死故障下的控制問題為動機，提出一種基于e-σ-modification混合自適應律的魯棒級聯式自適應側滑飛行控制方法，通過數字仿真與已有基于σ-modification律的控制方法進行對比，并討論其優缺點。

1 側滑角飛行控制方案

當飛機在飛行過程中突然遭遇諸如單側副翼卡死故障或單側機翼部分損失時，雖然可以偏轉另一側副翼來提供恢復力矩，但是穩定時間長，風險大，并且占用大量的副翼裕度使得機動能力降低，所以需要改變控制策略。由飛行力學得知，當出現側滑角時，飛機的垂尾、機翼后掠角、上反角、上單翼均能快速有效地提供更多的恢復力矩。除此之外，從文獻［25］可以看出，通過側滑角配平穩定后仍留有足夠的副翼偏轉裕度來進行任務機動。圖1給出整個自適應側滑飛行控制結構。

圖1 自適應側滑飛行控制結構圖

整個控制結構由姿態保持、高度H保持、Va速度保持、側滑角β保持控制器組成。在側向通道中，β保持控制器和滾轉角φ、偏航角速率r控制器級聯：輸入信號βc通過PID濾波后，作為φ和r控制器的給定，分別將輸出信號送給副翼da和方向舵dr，以此調節并跟蹤βc。高度保持與俯仰角θ保持級聯，并和速度保持一樣均用PID實現。φ、r控制方法用魯棒模型參考自適應控制算法實現，其不僅能夠適應因舵機卡死和側滑飛行導致的側向通道傳遞函數結構不確定，而且能夠使系統在擾動或存在未建模舵動態并無持續激勵下保證有界穩定。

下面對圖2中側滑角級聯控制回路進行穩定性分析。證明過程基于以下假設：

假設1 滾轉角φ和r偏航角速率響應速度相比β控制器要快得多，即在級聯回路中可近似認為φc＝φ，rc＝r。

假設2 側向姿態內回路的調節過程對參與級聯系統運算的其他狀態所產生的影響可以忽略。

通過對姿態環參考模型的合理設計，可以滿足假設1的要求。觀察式（1），將φ當做內環進行設計要比用r內環理想，一是因為da→φ通道的調節對式（1）中其余狀態的影響要遠遠小于dr→r通道調節的影響，這就保證φ控制器前后參與運算的狀態值近似不變，滿足假設2；二是因為選用r內環在計算rc時會有微分運算從而產生噪聲。所以下面選用φ內環證明穩定性。

圖2 級聯側滑角控制回路

側滑角級聯控制回路穩定性分析：

對式（1）右邊設計偽控制量和控制律，有式（2）。根據圖2信號流，進一步可以得到（model reference adaptive controller，MRAC）的輸入φc，如式（3）。此時，若將φ的MRAC回路響應時間設計的足夠快，則在φ穩定時基本不變。側向回路短時間調節對θ－γ的影響極小，所有φ的MRAC控制回路在調節過程中θ－γ也基本不變，這樣整個級聯式側滑角控制回路的傳遞函數如式（4）所示。如果（ki／1＋kp）＞0，則式（4）的極點位于左半平面，系統漸進穩定。進一步取ki＝kp＝k＞0，則95%調節時間ts如式（5）。

注1 r的MRAC控制回路并不影響上述穩定性分析，因為根據式（1）用類似上述的設計過程理論上同樣可以得到式（4），只是根據前面分析所得到的事實，選用φ內環更好。

2 滾轉角φ和偏航角速率r魯棒MRAC設計

2.1 問題描述

由于傳統固定翼飛機縱向和側向之間的耦合影響較小，加之諸如單側副翼卡死產生的不對稱力矩對滾轉和偏航運動影響較大，所以有必要針對da→φ和dr→r通道設計自適應控制器。本文基于直接模型參考自適應控制（direct model reference adaptive control，DMRAC）結構進行研究，其特點是不單獨對控制器參數進行辨識［1］，而直接對輸出誤差e＝y－ym進行跟蹤設計。通過對圖3飛機在一些舵面卡死故障下的配平點進行線性化發現，dr→r通道傳遞函數的相對階n＊＝1，而da→φ為n＊＝2。所以為了不失一般性，將對n＊≥2進行擴展設計。另外，為了增加自適應控制系統對噪聲和未建模舵動態的魯棒性，在傳統梯度型自適應律的基礎上，提出e-σ-modification混合自適應律，并予以驗證。

圖3 小型電動驗證無人機

2.2 傳統MRAC方法

圖4為相對階n＊＝1的DMRAC結構圖。整個結構分為4個部分：相對階為（n－m）＝1參考模型、前饋控制部分、反饋控制部分以及自適應律［26］。Λ、h是自適應觀測器的狀態空間形式，輸出信號為ω1、ω2。控制器參數［c0］T受到自適應律的調節，使得具有參數不確定性被控對象的實際輸出與模型輸出一致。

圖4 n＊＝1DMRAC結構圖（dr→r通道）

傳統DMRAC控制律如式（6），寫成線性參數形式如式（7）。c0是標量的階數為n－2、n－1。

2.3 相對階n＊≥2控制結構及魯棒自適應控制算法

由于被控飛機dr→r通道傳遞函數相對階為2。所以需要對圖4的控制結構進行擴展［3］。記圖4輸出誤差為e1，構造s域算子L（s）使得＾M（s）L（s）嚴正實，則有式（11）的輔助誤差和式（12）增廣誤差。

這里選用Ⅰ型誤差系統［4］，令L－1（s）＝＾M（s）得式（13）。帶輸入擾動的擴展的控制結構如圖5所示。

圖5 n＊＝2DMRAC結構圖（da→φ通道）

回顧魯棒自適應律［5］，Dead Zone方法依賴一個假設邊界已知的非參數不確定項‖ε（x，u，t）‖＜εmax。當式（14）滿足時，李氏函數的導數˙V≤0。其缺點是對εmax的保守估計會使誤差變大從而出現“bursting”現象；Parameter Projection方法將自適應參數約束到一個包含理想參數的凸集邊界上。其缺點是理想邊界不容易估計，并且這種方法不能解決因輸出擾動產生的參數漂移現象；σ-modification方法是在式（9）中加額外的參數線性阻尼項（式（15），σ為正實數），從而在有界擾動下能夠保證有界穩定，但在理想情況下且存在PE時，不能使得誤差系統漸近收斂。

關于e-modification方法（式（16），σ為正實數），根據文獻［2］的Theorem 1，在理想情況和有充分激勵下，可使式（8）、式（9）漸近收斂到原點，從而彌補了σ－modification的不足。對李氏函數V（e，φ）＝eTPe＋｜k｜φTφ／γ沿著式（8）、式（9）求導，觀察式（17）、式（18），在補集Dc1中有˙V≤0。所以該方該也能在有擾時使誤差系統有界穩定。

為了進一步減小e-modification律下誤差‖e‖、‖φ‖的界限，縮小D1，并對e-modification律、σ－modification律取長補短，提出e-σ-modification混合自適應律，并針對外部擾動和輸入未建模動態情況分析此自適應律的性能。

2.3.1 存在外部擾動ˉv（t）

e-σ-modification混合自適應律如式（19），其中σ1為正實數。回顧n＊＝1誤差方程（8），外部擾動通過被控對象的狀態方程和輸出方程引入，并歸并為式（8）中的ˉv（t）。利用式（19）得到n＊＝1時新的李氏函數的導數式（20），并在Dc2中有˙V≤0，其中D2如式（21）。將式（21）中關于‖e‖的不等式進一步化簡，得到式（22）。對比式（21）和式（22），當條件滿足時可以在e-modification律基礎上進一步減小誤差‖e‖的界限。下面分析選取σ1、σ2的方法：

令式（22）b中的開方項為零，則當σ1越小，收斂誤差‖e‖也越小。與此同時，為了在e-modification律的基礎上進一步收斂誤差‖e‖，經過簡單的推導，需滿足如下不等式（23）。另外根據式（20）、式（21），選取σ1、σ2時還需檢查是否滿足（2σ1｜e1｜＋2σ2）＞0的條件。

對于n＊≥2，根據誤差方程如式（13），e-σ-modification自適應律需要進行歸一化更正，如式（26），其中k＝1／c＊0。對／2有界，所以式（28）不等式右邊一定正有界。

在同種情況下，e-modification律下‖φ‖的有界性如式（29）。所以若滿足式（30），則e-σ-modification律得到的‖φ‖界限要小于e-modification律，并且σ2越大‖φ‖界限減小得越多。

注3 文獻［3］的Theorem 2給出了n＊≥2且存在未建模動態時，e-modification律保證系統其他信號有界性的條件，其在外部擾動下同樣適用。由于在保證‖φ‖有界下，定理的證明與自適應律形式無關，所以在e-σ-modification律下其他信號的有界性仍能保證。

3 仿真實驗

本節利用圖3小型電動無人機（單發、V尾兼具升降舵和方向舵功能，翼展1.9m，機長1.95m，全機加有效載荷總重6.9kg）對級聯式魯棒自適應側滑飛行控制進行數字仿真驗證。仿真過程如下：初始飛行狀態為無故障配平直飛，飛行高度500m，空速20.3m／s，同時接通零側滑角保持控制器；10s時觸發左副翼上偏20°卡死，并繼續保持零側滑角；30s時給出－9°側滑角指令并持續至60s。控制器配置如下：控制器配平點選為初始無故障配平直飛的狀態；da→φ和dr→r通道的全部自適應控制參數初始值設為0。下面對魯棒外部擾動和未建模輸入動態分別進行討論。

3.1 存在外部擾動

對圖1中的輸出滾轉角φ和偏航角速率r分別同時加入有界隨機噪聲｜nφ（t）｜≤1°和｜nr（t）｜≤0.1（°）／s。β的PI控制器參數為kp＝5，ki＝5。兩個通道（相對階分別為n＊＝2和n＊＝1）的e-σ-modification自適應增益分別記為γφ、σ1φ、σ2φ和γr、σ1r、σ2r，e-modification律沒有σ2φ、σ2r增益。圖6～圖8分別為3組自適應增益下的部分狀態響應。圖9為空速、高度、舵偏響應。對比圖6（a）、7（a）、8（a），當σ1r逐漸減小時，兩種魯棒自適應律下的輸出誤差e1r均明顯減小，但e-σ-modification律的效果更好，驗證了式（22）、式（25）及其相應的結論；對比圖6（b）、7（b）、8（b），在σ1φ不變的基礎上，當σ2φ不斷增大時，2－范數‖φ‖也在不斷減小，說明e-σmodification律在減小控制參數誤差上比e-modification律更為優化，同時也驗證了式（30）及其相應的結論。圖6（c）是整個自適應側滑飛行控制系統的β響應，10s故障后的保持調節過程和30s時的機動調節過程基本符合設計指標（5），并且穩態值與指令幾乎相同。由于自適應控制器的配平值為仿真的初始配平狀態，所以圖6（d）中，控制參數在前10s基本沒有改變。而在10s后和30s后，為了與參考模型輸出匹配，控制參數發生變化。但因為噪聲的影響，圖6（a）中存在有界輸出誤差。圖9顯示控制系統將空速和高度均保持在仿真初始的預定值，并且舵偏值在允許范圍內。

圖6 γr＝1，σ1r＝1，σ2r＝－0.1；γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝5

圖7 γr＝1，σ1r＝0.5，σ2r＝－0.25；γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝50

圖8 γr＝1，σ1r＝0.1，σ2r＝－0.05；γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝100

圖9 γr＝1，σ1r＝1，σ2r＝－0.1，γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝5

3.2 存在輸入未建模動態

假設da→φ和dr→r通道均存在舵輸入未建模動態，并等效為二階傳遞函數（34），ξ＝0.6、ωn＝20rad／s。依據式（34）和第2.3.2節假設3，加性未建模動態傳遞函數ΔP是穩定的，且Δyp（t）＝ΔP（s）u（t）有界。

繼續沿用上文的符號，圖10～圖12分別為3組自適應增益下的狀態響應。圖13為第一組增益下的速度、高度、舵偏響應。由于第2.3.2節已分析得出在某些假設下，未建模輸入動態與外部擾動等價，所以對比圖10（a）、圖11（a）、圖12（a），當σ1r增大時，兩種自適應律下的輸出誤差e1r均明顯會增大，但在e-σ-modification律下增幅較小，間接說明其優勢，驗證了式（24）的情況。同理，圖10（b）、圖11（b）、圖12（b）說明了在減小‖φ‖上，e-σ-modification律比e-modification律更有效，即驗證了式（30）及其相應的結論。圖10（c）的β響應除了與第3.1節的結果基本一致外，e-σmodification律在10s前有一個短暫的高頻震蕩，這是由于負值增益σ2r絕對值若增大會減弱式（19）中e-modification成分的鎮定擾動作用，同樣也使得輸出誤差e1r發生振蕩，如圖10（a）所示。將此圖時間軸增大如圖13（d）所示。可以看出在這組參數下，隨著時間增加，e1r最終為近似的等幅振蕩。這是由于當控制器參數選擇欠佳而激發具有特定頻段幅相特性的不確定未建模舵動態發生振蕩時，易造成e1r發生高頻振蕩，如圖13（d）所示，但是對未建模舵動態情況下的穩定性證明保證其不會發散。相比而言，在圖11（a）的控制參數下，e1r漸近收斂，與存在外部擾動情況的仿真效果近似。這說明當控制參數選擇欠佳時，控制器對不確定未建模舵動態的魯棒性相比對外部擾動會變差。

圖10 kp＝1，ki＝1，γr＝1，σ1r＝25，σ2r＝－3，γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝5

圖11 kp＝1，ki＝1，γr＝1，σ1r＝50，σ2r＝－10，γφ＝1，σ1φ＝50，σ2φ＝500

圖12 kp＝0.5，ki＝0.5，γr＝1，σ1r＝100，σ2r＝－15（a）；kp＝0.5，ki＝0.5，γr＝1，σ1r＝100，σ2r＝－15，γφ＝1，σ1φ＝50，σ2φ＝50（b）

圖13 kp＝1，ki＝1；γr＝1，σ1r＝25，σ2r＝－3；γφ＝1，σ1φ＝5，σ2φ＝5

4 結 論

本文針對常規布局飛機單側副翼卡死下的側滑飛行控制問題，提出一種基于e-σ-modification混合自適應律的級聯式側滑飛行控制方法。在給出整個側向側滑角級聯回路穩定性證明后，對側滑回路內狀態r和φ的魯棒自適應控制器進行了研究。針對輸出擾動和未建模舵動態，通過選擇合適的自適應增益，證明了e-σ-modification自適應律相比e-modification自適應律能夠進一步減小輸出誤差和控制參數誤差。文章的最后通過非線性仿真驗證了整個控制系統的有效性。此控制方法不僅局限于側滑飛行控制，其他具有級聯式控制結構的應用也同樣適用。

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Research on robust cascaded sideslip flight control based on e-σ-modification hybrid adaptive law

CHENG Peng-fei，WU Cheng-fu
（Science and Technology on UAV Laboratory，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710065，China）

An e-σ-modification hybrid adaptive law based cascaded sideslip flight control scheme is proposed aiming at control surface failures of conventional configuration.The stability proof of the sideslip cascaded loop is given and then follows the expression between regulating time ts and PI control parameters under the assumption of faster response of the roll angle and the yaw rate than those of the sideslip.In the presence of perturbation and unmodeled input dynamics，the fundamental model reference adaptive control（MRAC）schemes for roll angle and yaw rate transfer-tunnels of relative degrees equal to one or greater are constructed respectively.The Lyapunov method guarantees that all signals of the robust adaptive control inner-loop updated by the e-σ-modification law are uniformly bounded.Further the method of choosing adaptive gains to minish error boundaries of the output and control parameter of the e-modification law is also analyzed.The simulation results validate the effectiveness and show that the method not only owns satisfactory sideslip angle holding and tracking performances，but also shrinks error boundaries mentioned above in an allowable deflection angle range of control surfaces.

control surface failures；e-σ-modification hybrid adaptive law；cascaded sideslip flight control；robust adaptive control；error boundaries

V 249.1

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.20

程鵬飛（1986－），男，博士研究生，主要研究方向為飛行控制、飛行動力學。

E-mail：cpf＿123＠163.com

吳成富（1962－），男，教授，博士研究生導師，碩士，主要研究方向為綜合飛行控制技術。

E-mail：chiefwu＠nwpu.edu.cn

1001－506X201508－1844－08

網址：www.sys－ele.com

2014－07－22；

2014－11－03；網絡優先出版日期：2015－01－06。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150106.1218.006.html

解放軍總裝預研項目（513250202）資助課題