考慮面內外擺角對電動繩系離軌過程的參數影響分析

翟 光，蘇 飛，張景瑞，張 堯

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

考慮面內外擺角對電動繩系離軌過程的參數影響分析

翟 光，蘇 飛，張景瑞，張 堯

（北京理工大學宇航學院，北京100081）

利用電動繩系實現空間碎片自主離軌有廣闊的應用前景。受洛倫茲力矩和重力梯度力矩作用，繩系姿態將在當地垂線附近振蕩。首先采用拉格朗日法建立電動繩系面內外姿態動力學模型；隨后結合國際地磁場模型，給出洛倫茲力和洛倫茲力矩的計算方法；最后結合姿態動力學模型和高斯攝動方程，建立了電動繩系離軌數值仿真模型，在考慮無擺角、僅有面內擺角、有面內外擺角的條件下，對電動繩系離軌過程進行仿真對比。仿真結果說明，電動繩系姿態振蕩對離軌有明顯影響，只有考慮繩系姿態，才能精確預測軌道參數的變化。

電動繩系；姿態振蕩；離軌控制；軌道參數；動力學建模

0 引 言

空間碎片對在軌航天器的安全產生嚴重威脅。利用電動繩系使廢棄衛星離軌的概念由美國NASA約翰遜太空中心的Joseph P.L首先提出，隨后許多國家對電動繩系技術進行了試驗和驗證［1－4］。電動繩系系統動力學與控制問題一直是該領域內的一個研究重點。文獻［5－6］研究了電動繩系軌道機動過程的動力學穩定性問題，在結構優化的基礎上提出了解耦控制策略；文獻［7－8］基于珠點模型建立了電動繩系系統的動力學和運動學模型；文獻［9］在繩系系統動力學模型中引入彈性形變，研究了繩系形變對系統面內運動穩定性的影響；針對電動繩系機動過程振動抑制和時間優化問題，文獻［10－13］提出通過調節繩系電流大小和方向實現電動繩系位置保持，同時抑制繩系的振動和完成電動繩系最優軌道轉移；文獻［14－15］提出兩種反饋控制方法來抑制展開階段與構型保持階段的振動，并采用有限元方法分析了系統的橫向振動規律；當前電動繩系非線性動力學特性及系統離軌速率也是較多學者關注的問題，文獻［16－19］基于高斯攝動方程建立了電動繩系納星系統的軌道攝動模型，通過解耦方式分析了繩系姿態穩定性，并采用分段最優控制策略，縮短了系統的離軌時間；文獻［20］建立了電動繩系離軌時間的理論計算模型，并結合第十一代國際地磁場模型進行了仿真驗證。

在目前已有文獻中，多數學者不考慮繩系姿態對系統離軌速率的影響，直接假設電動繩系穩定在當地垂線方向，以此開展相關建模與分析研究。事實上在不施加控制時，電動繩系在洛倫茲力和重力梯度力作用下與當地垂線方向有面內外夾角且動態變化，因此很多離軌過程的運動特性分析具有一定局限性。本文基于上述研究，建立了電動繩系軌道攝動模型和姿態動力學模型，分析了電動繩系姿態運動特性，在考慮面內外姿態條件下得到更為精確的離軌模型，通過研究軌道參數的變化，說明了考慮面內外姿態的必要性。

1 電動繩系姿態動力學模型

電動繩系系統如圖1所示，為簡化問題，做如下假設：繩系末端質量均為質點，且與繩系連接點位于末端質量的質心，系統質心與軌道坐標系原點重合，地球重力場為理想中心力場；同時忽略其他軌道攝動因素對系統運動的影響。

建模參考坐標系如圖1所示，OXYZ為地心慣性坐標系；OoXoYoZo為軌道坐標系，其原點位于系統質心，Zo軸為地心指向系統質心方向，Xo軸指向系統速度方向，Yo軸由右手螺旋法則確定；ObXbYbZb為本體系，原點Ob固連于系統的質心，Zb軸為系統質心指向大質量塊質心方向，Xb軸方向由下式確定：Yb軸則由右手螺旋法則確定。本文主要研究繩系與軌道面位置關系，所以圖1中未標出Yo和Yb軸。

面內外擺角α、β定義如圖1所示，面內擺角α為繩系在軌道面投影與Zo軸的夾角，面外擺角β則為此投影與繩系的夾角。

圖1 電動繩系系統示意圖

1.1 系統的動能

本部分采用拉格朗日定理推導系統的動力學模型。如圖2所示，任取電動繩系微元dm，由質心定義，系統滿足：

式（2）對于y、z亦成立。式中M和m表示末端大小兩質量塊質量；ρ為電動繩系的線密度；l＊、l為電動繩系總長度和展開長度；x1和x2分別為大質量塊和小質量塊在軌道坐標系內的x坐標。

圖2 電動繩系系統本體坐標系與軌道坐標系

假設L為末端質量指向衛星的矢量（即為繩系矢量），同理由質心定義可得系統質心到末端小質量塊和大質量塊的矢量L1、L2（其標量l1、l2表示質心到末端質量的繩長）分別為

電動繩系釋放過程中，整個系統的動能由3部分組成，系統質心沿軌道運動產生的動能T1；系統繞質心轉動產生的動能T2；繩系長度變化產生的動能T3。系統質心繞軌道運動的動能T1表示為

式中，f表示真近點角。同理可得T2和T3的表達式，這里直接給出表達式：

1.2 系統的勢能

電動繩系系統任意質量微元dm在重力場中的勢能可描述為

式中，μ為地心引力常數；r為微元到地心距離。

下面分兩部分計算系統的勢能，其中末端質量的勢能為

根據兩質點在軌道坐標系中的位置關系，對式（8）分母部分進行泰勒展開，并忽略高階項O（1／r3），則有

式中，i＝1，2。將上式代入到式（8）中，由此可以得到末端質量的勢能函數

采用同樣的方法可以得到電動繩系的勢能函數：

考慮繩系在釋放過程中發生的彈性變形，引入電動繩系的應變系數ξ，C為電動繩系的彈性模量，A為橫截面積，則系統的彈性應變勢能可以表示為

根據式（9）～式（11），系統總勢能函數可由V＝V1＋V2＋V3計算得到。

1.3 系統的拉格朗日函數

根據拉格朗日定理，系統的拉格朗日函數可表示為

將系統的動能函數和勢能函數代入上式可得系統的拉格朗日函數具有以下的形式：

由于模型考慮了連接電動繩系的質量，因此系統的拉格朗日函數和動力學方程變得十分復雜。在實際的工程當中，由于電動繩系質量遠小于系統其他部分質量，所以忽略拉格朗日方程中繩系動能和勢能；此外，忽略繩系的形變，此時拉格朗日函數中的彈性勢能項可略去不計。

根據拉格朗日定理，按式（12）對拉格朗日函數中的廣義坐標求導

式中，qj和Qj分別表示廣義坐標和廣義外力，則可導出系統的姿態動力學方程

定義歸一化廣義外力

式中，τ（t）和γ（t）分別表示面內擺角和面外擺角方向的外力矩，其為洛倫茲力矩和重力梯度力矩合成。為了提高仿真精度，并便于判斷電動繩系系統面內外振動的穩定性，采用無量綱分析，引入無量綱變量：

此時方程（14）轉換為

姿態動力學方程（14）是在連接電動繩系剛性假設的情況下推導建立的，而系統的剛性假設只有在連接電動繩系處于張緊狀態的時候才能夠成立，若電動繩系處于松弛狀態時，末端質量之間的動力學耦合關系不再成立，即方程（14）能夠描述系統動力學特性的前提條件是連接電動繩系處于張緊狀態。

2 攝動力和攝動力矩

2.1 地磁場模型

國際參考地磁場是描述地球主磁場空間結構和時間變化的通用模型。在近地表自由源地區，磁場強度B是一個標量勢W的梯度，即

并且該標量勢W滿足Laplace方程：Δ

在球坐標系中，Laplace方程的通解為

式中，re為地球參考球赤道半徑；r、λ、φ分別為衛星的地心距、經度和地心緯度；、為磁場球諧函數的系數（高斯系數）；（sinφ）為n次m階Schmidt準歸一化締合勒讓德函數。

地磁場在地心地固坐標系中可以表示為

式中，eLx、eLy、eLz為東－北－天坐標系三軸單位矢量，此時每個軸上的磁場強度為

本文研究考慮繩系姿態和不考慮姿態的電動繩系離軌特性，建模時應限制磁場模型精度帶來的誤差，所以取N＝10階地磁場模型，此模型基本考慮了地球主磁場。

2.2 僅有面內擺角的攝動力和力矩

假設繩系的平衡位置落后于當地垂直位置的角度為α，由軌道系x軸、y軸、z軸單位向量eox、eoy、eoz表示繩系長度矢量為

當電動繩系穿過地磁場并切割磁感線，會產生變化的電場E。此時，繩系上的電壓、電流表示為

式中，R為繩系電阻，電動繩系系統相對地磁場的速度矢量vr與地球的自轉關系為

式中，v、ωe分別為電動繩系系統在軌道系中的速度矢量和地球的自旋角速度矢量，電流在地磁場中的運動感應產生作用于繩系的洛倫茲力為

所以作用在繩系上的電動力力矩為

繩系質量mt、末端質量M和m也可以產生梯度力及力矩，假設繩系的橫截面積大小一致。則由繩系質量和末端質量和衛星質量產生的梯度力FGt、FGm、FGM分別為

由重力梯度產生的梯度力矩為

2.3 有面內外擺角的攝動力和力矩

電動繩系的面內擺角和面外擺角分別為α和β，則繩系長度矢量在軌道系中可以表示為

電動繩系與當地垂直方向的夾角為

此時繩系上的電壓和電流及在地磁場中的運動感應產生的洛倫茲力如式（21）和式（23）。

用虛功原理求解式（15）中的攝動力矩τ（t）、γ（t），把位移微分dL的虛位移用面內外虛擺角δα、δβ［16］表示為

由式（29）得洛倫茲力矩表示為

其中，dF（L）＝B×ILdL，所以洛倫茲力矩為

由于M?m，直接假設系統質心位于大質量塊質心處，得洛倫茲力矩為

式（32）中

式中，Bx、By、Bz分別為地磁場在軌道系三軸上的分量，代入式（15）即可得到廣義力矩。此時重力梯度力矩可按下式計算：

同理可假設電動繩系系統重心位于大質量塊處，得到簡化的重力梯度力矩。

2.4 軌道運動方程

電動繩系系統在洛倫茲力作用下，軌道發生改變。這里以軌道要素為狀態變量描述系統的軌道攝動，建立電動繩系離軌系統高斯軌道攝動方程：

式中，a是軌道半長軸；h是軌道角動量；e是軌道偏心率；u＝ω＋f；p是軌道半通徑；i是軌道傾角；Ω是軌道升交點赤經；ω是近地點幅角；fr、fv、fh分別為航天器位置矢量方向、運動方向和垂直軌道面方向的攝動加速度。

3 考慮繩系姿態的離軌仿真驗證

根據上述理論建模與分析的結果，建立電動繩系離軌過程的數值仿真模型，整個仿真模型綜合考慮了系統的姿態動力學、軌道攝動、地磁場模型3個部分，研究了電動繩系姿態的變化對系統的各個參數的影響，驗證電動繩系的離軌效果。需要說明的是，本仿真模型當中暫未考慮地球形狀攝動、大氣阻力攝動等因素。電動繩系的參數和繩系軌道初始參數如表1和表2所示。

表1 繩系仿真參數

表2 初始軌道參數

圖3是考慮繩系姿態時系統離軌過程地磁場隨時間的變化，由于軌道半長軸不斷減小，系統位置不斷降低，地磁場幅值也不斷增大。從圖3可以看出其幅值有增大的趨勢，這與地磁場的實際情況相符。

圖3 EDT所處地磁場矢量變化

為了說明在分析電動繩系離軌過程時，考慮繩系面內外姿態振蕩的必要性，本部分分別在考慮和不考慮繩系系統姿態變化的情況下進行了仿真及對比分析，其中繩系姿態變化分為兩種情況進行仿真，一種是僅考慮面內的姿態運動，另一種是綜合考慮面內外的姿態運動。圖4是40h內電動繩系軌道半長軸變化情況，因為是近圓軌道，所以可以用半長軸變化來評價離軌效果。仿真結果說明，在不考慮繩系姿態的情況下，其半長軸減小得最快，同時考慮面內和面外姿態變化時半長軸減小也要比只考慮面內姿態變化時快。若分析長期（2～5個月）降軌，不考慮面內擺角時分析結果誤差將更大。所以為了保證離軌模型的準確性，分析電動繩系姿態運動是必要的。

圖4 EDT 40h內軌道半長軸變化

圖5和圖6分別是電動繩系面內角擺角變化曲線和面內姿態運動的相平面圖，由圖5可看到面內擺角在－0.2rad附近不規則的振蕩，由圖6進一步可知面內擺角是逐漸收斂的，因此面內姿態運動具有穩定性；圖7和圖8分別是電動繩系面外擺角變化曲線和面外姿態運動的相平面圖，從圖可得面外角雖然在0rad附近不規則振蕩，面外姿態相軌跡不收斂，但其振蕩的幅值是有界的，同時面外姿態會使繩系產生沿軌道半徑方向的力，近地點幅角也會隨之變化，如圖9所示。從圖10和圖11可知，由于面外角的存在，使洛倫茲力沿軌道面垂線方向的力減小，這使得軌道傾角的變化相對緩慢。

圖5 EDT面內姿態角變化

圖6 EDT面內姿態相平面

圖7 EDT面外姿態角變化

圖8 EDT面外姿態相平面

圖9 EDT 48h內近地點幅角變化

圖10 EDT 24h內軌道傾角變化

圖11 EDT 48h點線方向洛倫茲力變化

圖12是不同條件下電動繩系離軌過程產生電流的對比，由于面內角和面外角都在穩定在附近振蕩，但其上電流幅值變化不大，繩系由此產生的洛倫茲力雖有變化，但仍能實現離軌，由圖13可知在綜合考慮面內外姿態變化的情況下，洛倫茲力在航天器運動方向的分量最大。

圖12 EDT 24h電流變化

圖13 EDT 24h洛倫茲力變化

4 結 論

本文在考慮重力梯度力矩和安培力矩作用條件下，綜合分析了電動繩系面內外姿態運動的特性，在此基礎上，進一步建立了洛倫茲力作用下的軌道攝動模型，并在考慮電動繩系系統姿態運動的條件下，對系統的離軌過程進行了對比分析。理論建模及數值仿真結果說明，電動繩系系統在軌期間同時存在著面內外姿態振蕩，相對于無姿態振蕩的情況，其產生的洛倫茲力大小和方向都會發生變化，進而對電動繩系系統的離軌速度產生明顯的影響。此外，電動繩系的姿態運動會導致洛倫茲力在軌道平面法向洛倫茲力分量的減小，進而導致離軌過程中軌道傾角變化速度也發生變化。綜合上述，電動繩系的姿態運動對系統離軌過程當中的軌道參數變化存在重要影響。因此，為了提高對電動繩系系統離軌過程的預測精度，考慮電動繩系系統的姿態運動是合理且必要的。

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E-mial：gzhai＠bit.edu.cn

蘇 飛（1990－），男，碩士研究生，主要研究方向為繩系衛星編隊動力學與控制。

E-mial：sufeisophy＠163.com

張景瑞（1974－），女，教授，主要研究方向為航天器姿態動力學與控制技術。

E-mial：zhangjingrui＠bit.edu.cn

張 堯（1985－），男，講師，主要研究方向為航天器振動抑制控制技術。

E-mial：zhangyao＠bit.edu.cn

Analysis of libration impact on the deorbit mission of space electro-dynamic tether

ZHAI Guang，SU Fei，ZHANG Jing-rui，ZHANG Yao
（School of Aerospace and Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Using the electro-dynamic tether system for space debris deorbit has a broad application prospect.Under the torque generated by Lorentz force and gravity gradient，the electro-dynamic tether librates along the local vertical.Base on Lagrange principles，the attitude dynamic associated with in and out-of-plan libration is established at first.The international earth’s magnetic model，the Lorentz force and torque are calculated.Finally，by combining the attitude dynamics model and Gauss perturbation equation，the numerical model for electro-dynamic tether deorbit is established，and both the libration and non-libration deorbit mission are simulated，respectively.Simulation results show that the in and out-of-plan libration exist and have an obvious effect on the deorbit system.Only considering the attitude of the electro-dynamic tether system，orbital elements change can be convinced.

electro-dynamic tether system；attitude tracking；deorbit control；orbital elements；dynamics model

TP 24

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.19

翟 光（1979－），男，副教授，主要研究方向為航天器制導、導航與控制技術。

1001－506X201508－1837－07

網址：www.sys－ele.com

2014－07－07；

2014－10－28；網絡優先出版日期：2015－01－06。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150106.1218.007.html

國家自然科學基金（11102018）；國家高技術研究發展計劃（863計劃）（2013AA7042018）資助課題