基于聚焦預處理的累量域空間平滑算法

吳向東，馬 侖，和 潔

（長安大學信息工程學院，陜西西安710064）

基于聚焦預處理的累量域空間平滑算法

吳向東，馬 侖，和 潔

（長安大學信息工程學院，陜西西安710064）

針對傳統累量域波達方向估計算法對各重復位置處虛擬陣元利用不充分的問題，提出了一種基于聚焦預處理的累量域相干信號波達方向估計算法。首先分析了直接平滑原物理陣列和四階累積量產生的虛擬陣列不能解相干的原因；然后推導了基于累量域聚焦技術解相干的原理；最后提出了直接累量域聚焦、前后向累量域聚焦和二次前后向累量域聚焦算法，并對其進行了性能分析，指出聚焦預處理技術不但不損失陣列孔徑，而且充分利用了累量域各虛擬陣列的數據，提高了角度估計精度。理論分析和仿真結果都表明了算法的有效性。

四階累積量；聚焦技術；虛擬陣列；波達方向估計

0 引 言

相干環境下信源波達方向（direction of arrival，DOA）估計是陣列信號處理領域里的一個重要分支［1－3］。常規的基于子空間類的DOA估計算法都是基于二階統計量的，而高階累積量不但可以提供比二階統計量更多的信息，還具有很多優良性能，其中最重要的兩點就是可以產生虛擬陣元和盲高斯特性。很多學者研究了基于四階累積量的相干信號DOA估計算法，文獻［4］最早系統地提出了基于四階累積量的相干信號處理算法，將陣列輸出模型等效為獨立信號源經過一個修正陣列的輸出模型，利用擴展虛擬ESPRIT算法（extended virtual-ESPRIT algorithm，EVESPA）估計出修正陣列的廣義陣列流形，然后對各相干信號組應用空間平滑算法實現組內解相干。后續的累量域相干信號處理算法基本上都是以該算法為核心思想的改進算法。如文獻［5］在求廣義陣列流形時引入了盲估計方法；文獻［6］利用模式激勵的方法把圓陣轉化為均勻線陣，從而把該思想推廣到了圓陣時的情況；文獻［7］通過平滑雙線性平行陣的四階累積量來實現相干信號的DOA估計；文獻［8］用時間平滑代替空間平滑來實現相干信號的DOA估計，但該算法運算量大，而且僅適用于觀察時間內信號角度變化較小、復幅度變化較大的情況。為了突破以上算法的限制，利用聚焦技術把虛擬陣列和原物理陣列聚焦到參考陣列以實現相干信源解相干，然后應用常規的信號子空間類算法實現DOA估計，算法充分利用了四階累積量產生的所有虛擬陣元，不損失陣列孔徑，提高了最大可分辨的相干信源數目。

1 理論分析和算法的實現

1.1 信號模型和虛擬陣列的形成

考慮一N元均勻線陣，陣元間距為半波長，遠場空間中存在M個窄帶相干信源，入射角為θi（i＝1，2，…，M），陣列接收數據為

式中，A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］為陣列流形，a（θi）＝［1，為導向矢量，λ為波長，d為陣元間距；S（t）＝［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T，si（t）為第i個信源的復包絡，（·）T表示轉置；N（t）＝［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T為獨立同分布均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲，與信號不相關。

陣列輸出數據的二階協方差矩陣為

式中，Rs＝ES（t）·S（t）H為信源協方差矩陣；σ2N為噪聲功率；IN為與X（t）同維數的單位矩陣。

定義陣列輸出四階累積量為

式中，1≤k，l，m，n≤N，如果X（t）中各序列充分對稱分布，則上式最后一項為零。N個陣元共可產生N4個互累積量。把式（3）得到的累積量填充到N2×N2的四階累積量矩陣Cx中，矩陣的第（k－1）N＋l行、（m－1）N＋n列元素為cum（xk（t）（t），x（t），xn（t）），則矩陣Cx可表示成

由四階累積量性質可知，高斯噪聲的四階累積量為零，式（4）可重寫為

式中

可以看出式（5）和式（2）具有相同的數學結構，因此Cx中A?A＊起的作用和Rx中的A相同，可以看作是累量域的陣列流形。設入射信號相互獨立，由于獨立信號的互累積量為零，重寫N2×M維矩陣A?A＊為

其第i列矢量a（θi）?a＊（θi）為第i信號源所對應的擴展導向矢量：

可以看出，式（6）有N2個分量，其中N分量與原陣列陣元位置相同，在新位置產生了N－1虛擬陣元，即實現了陣列孔徑擴展，這就是累量域虛擬陣列的概念，如圖1所示。

圖1 虛擬陣列結構示意圖

由式（5）知，N元陣列的四階累積量Cx為N2×N2維矩陣，按分塊矩陣的形成重寫Cx，每個塊的大小為N×N，且互不重疊，則第k行第l列的矩陣塊記為Rkl，k，l∈（1，2，…，N），結合陣列信號處理的概念知，Rkl為第k個陣列輸出數據和第l個陣列輸出數據的協方差矩陣，則

1.2 聚焦預處理算法

1.2.1 聚焦預處理的概念

經典的MUSIC-LIKE、虛擬ESPRIT等算法，利用了高階累積量的陣列孔徑擴展和盲高斯噪聲的特性，在DOA估計時，去掉重復位置處的“冗余”陣元，按等間距方式重新排列虛擬陣元和原物理陣元，但只適用于非相干源的場合。

信源相干時，由式（5）知：

式中，an是A的第n行；acum＿n＝an?A＊為一N×M2維矩陣，可以看作是第n個虛擬陣列的導向矢量。如果把各虛擬陣列看作是空間平滑算法的各子陣，只要各虛擬陣列間的導向矢量滿足旋轉不變性，即可利用空間平滑的思想實現解相干，不用對原陣列進行子陣劃分，避免了陣列孔徑的損失。

重新考察式（7），這里是Kronecker積，各虛擬陣列和原物理陣列間不滿足“線性平移”關系，即各虛擬陣列和原物理陣列的導向矢量不滿足旋轉不變性，所以無法直接應用空間平滑算法實現解相干。寬帶信號處理中的相干信號子空間法（coherent signal-subspace method，CSM）采用聚焦技術將各頻率點的數據變成同一參考頻率點的數據，聚焦后形成相關矩陣，這種聚焦操作有效地綜合了寬帶信息，使得聚焦后的信號協方差矩陣保持滿秩，從而有效地解決了寬帶相干信號的DOA估計問題。高階累積量可以在不同位置產生虛擬陣元，考察旋轉因子，即位置的變化可以等效為頻率的變化，結合圖1，引入聚焦處理的思想，設想存在一個算子，將各虛擬陣列和原物理陣列的導向矢量映射到參考導向矢量，使映射后的各陣列間滿足旋轉不變性，即可應用空間平滑的思想解相干，繼而在累量域實現相干信源的DOA估計。

1.2.2 聚焦預處理實現DOA估計

由寬帶聚焦變換知，對于一定角度范圍內的任意角度，存在一個不隨角度變化的共同聚焦變換。這里在感興趣方向上選取任一個角度集合Φ＝［θ1，θ2，…，θL］，L為集合中的元素個數，且大于信源數，Δθ＝（θL－θ1）／（L－1）為集合中的角度間隔，所以存在以下性質［9－10］。

性質1 對累量域的第k個陣列（包括虛擬陣列和原物理陣列）及選定的參考陣列，存在一個共同的聚焦變換Tk（Φ），使得對于任意角度集Φ。即

式中，k，k0＝1，2，…，N；Φ＝（θ1，θ2，…，θL）為一致角度集；為累量域第k個陣列的陣列流形，dk＝d·［1－k，2－k，…，N－k］T為第k個陣列的陣元位置矢量，顯然k＝1對應原物理陣列；ak0（Φ）為累量域參考陣列的陣列流形，理論上可選累量域的任一個陣列為參考陣列，一般情況下，如果N為奇數，可選取，N為偶數，可選取第稱為累量域一致聚焦變換。

累量域一致聚焦變換實際上就是同時滿足式（8）的L個互不相關方程組的線性變換，為了保證沒有聚焦損失，Tk（Φ）可為酉矩陣約束下的最小二乘解：

求解上式得

重新考察式（7）可知，沿著主對角線方向的Rkk即為第k個子陣的自相關矩陣，利用聚焦變換Tk（Φ）對各Rkk做聚焦預處理實現解相干：

為了提高算法性能，結合前、后向空間平滑的概念構造Rcum＿focus2：

式中，J為與R同維數的置換矩陣。

如前所述，高階累積量的優良特性之一是可以產生虛擬陣元，如果能更充分地利用各虛擬陣列間的信息，則會進一步提高DOA算法的性能。文獻［11－12］提出了二次前后向空間平滑方法，并證明了對各子陣的自相關矩陣進行平方求和具有更好的解相干性能，因為要在累量域將各子陣聚焦到參考陣列，所以結合聚焦預處理技術構造R＝

對式（11）～式（13）應用MUSIC等常規的超分辨算法即可實現DOA估計。為了方便描述，簡稱式（11）算法為累量域聚焦算法（focusing algorithm in cumulant domain，FACD），式（12）算法為前后向累量域聚焦算法（forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，FBFACD），式（13）算法為二次前后向累量域聚焦算法（quadratic forward／backward focusing algorithm in cumulant domain，QFBFACD）。綜上所述，總結算法步驟如下：

步驟1 在感興趣的方向構造一致角度集Φ；

步驟2 利用式（4）求解四階累積量矩陣；

步驟3 利用式（10）求解各個聚焦變換矩陣；

步驟4 利用式（11）～式（13）對各虛擬陣列和原物理陣列做解相干處理，再運用MUSIC算法實現DOA估計。

下面對算法的最大可分辨相干信源數做簡單分析。可知，前向空間平滑可分辨最大信源數為N／2，前、后向空間平滑算法可分辨最大信源數為2 N／3，而累量域的廣義陣列流形算法解相干的實質為空間平滑算法，所以在對每一組相干信源解相干時，可分辨最大信源數并未提高。文中算法經聚焦預處理后，不損失陣列孔徑，參與解相干的子陣數為N，所以可分辨最大信源數提高為N－1，這一點從仿真結果也可以得到驗證。

2 仿真實驗及分析

設陣列為5元等距線陣，陣元間距為半波長，快拍數為128，信噪比為10dB，各接收陣元上的噪聲為高斯白噪聲，設空間有4個遠場、窄帶信號，分別從－35°，－18°，10°，30°入射到陣列上。為了分析和說明算法的性能，分別對式（11）的FACD、式（12）的IFACD、式（13）的QFBFACD和文獻［4］中經典的累積量域相干信號處理算法EVESPA 4種算法在不同環境、條件下進行了仿真。

實驗1 信源全相干情況

設這4個信號全相干，其多普勒頻率均為100Hz，仿真結果如圖2所示。可以看出，文中3種方法均可有效地分

圖6 不同信噪比下算法DOA估計性能比較

3 結束語

傳統累量域算法都是從虛擬陣元的角度出發，利用其可以增加陣列孔徑的優點來提高角度估計性能。本文從虛擬陣列的整體概念出發，充分利用各虛擬陣列的數據協方差矩陣，結合聚焦思想，提出了基于聚焦預處理的累量域空間平滑算法實現相干信號DOA估計，和常規空間平滑算法相比，不損失陣列孔徑；和累量域同類算法相比，降低了運算量。對文中算法在信源全相干、部分相干、全不相干環境以及不同信噪比下的DOA估計性能進行了分析，并用仿真結果證明了理論分析的正確性。算法具有較強的實用性，可以適用于存在相干源的環境。

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Spatial smoothing algorithm in cumulant domain based on focusing preprocessing

WU Xiang-dong，MA Lun，HE Jie
（School of Information Engineering，Chang’an University，Xi’an 710064，China）

Considering that the traditional direction of arrival（DOA）algorithms in the cumulant domain discard the repeated virtual array elements，a new algorithm for estimating the DOA of coherent signals based on focusing preprocessing in the fourth-order cumulant domain is proposed.First，the reasons for the failure of decorrelation are analyzed from the lost of shift-invariant characteristics in the virtual arrays.Then，the principle of decorrelation and DOA estimation of coherent sources is deduced by using the focusing technology.Finally，algorithms of direct focusing，forward／backward focusing and quadratic forward／backward focusing in the cumulant domain are proposed and their performances are analyzed.The analysis shows that，the new algorithms not only avoid the reduction of the array effective aperture but also make full use of the data of the virtual array，they have higher resolution of DOA estimation than similar algorithms.Theoretical analysis and simulation results demonstrate the merits of the new algorithm.

fourth-order cumulant；focusing technology；virtual array；direction of arrival estimation（DOA）

TN 957

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.03

吳向東（1976－），男，講師，博士，主要研究方向為陣列信號處理、探地雷達、無線傳感器網絡技術。

E-mail：xdwu＠chd.edu.cn

馬 侖（1981－），男，副教授，博士，主要研究方向為陣列信號處理以及雷達信號處理。

E-mail：lunma＠126.com

和 潔（1985－），女，講師，博士，主要研究方向為網絡雷達信號處理、空時自適應信號處理，陣列信號處理以及其在公路交通控制信息領域的應用。

E-mail：hejie＠chd.edu.cn

1001－506X201508－1729－05

網址：www.sys－ele.com

2014－09－15；

2015－03－04；網絡優先出版日期：2015－04－29。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150429.1035.001.html

國家自然科學基金（61401045）資助課題