透過現象看本質
——動態立體幾何問題的處理

☉江蘇省南通市天星湖中學 成倩文

透過現象看本質
——動態立體幾何問題的處理

☉江蘇省南通市天星湖中學 成倩文

動態問題是高考對立體幾何問題的主要考查形式之一，其體現了“變”與“不變”的和諧統一，動態立體幾何問題的特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規律運動變化，從而又引起了其他一些元素的數量、位置關系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發生變化.但是圖形中的一些元素的數量和關系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規律可尋.

一、尋找特殊位置，以動制靜

圖1

例1 如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱CC1上的一個動點，平面BED1交棱AA1于點F，則下列命題中為假命題的是（ ）.

A.存在點E，使得A1C1∥平面BED1F

B.存在點E，使得B1D⊥平面BED1F

C.對于任意的點E，平面A1C1D⊥平面BED1F

D.對于任意的點E，四棱錐B1-BED1F的體積均不變

解析：對于選項A：當E為CC1的中點時，則F為AA1的中點，所以EF∥A1C1，所以A1C1∥面BED1F，故A正確.

對于選項B：假設B1D⊥平面BED1F，則B1D在平面BCC1B1和面ABB1A1上的射影B1C、B1A分別與BE、BF垂直，可得E與C1重合，F與A1重合，而B、A1、C1、D1四點不共面，所以不存在這樣的點E，故B錯誤.

對于選項C：因為BD1⊥面A1CD，BD1?BED1F，所以面A1C1D⊥面BED1F，故C正確.

對于選項D：因為VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，又CC1∥AA1∥面BB1D1，所以四棱錐B1-BED1F的體積為定值.答案為D.

評注：動態幾何問題的核心是讓變量變化起來，在運動變化中探求與之相關的其他量之間的關系.隨著變量的變化，與之相關的一些量在變量變化過程中保持不變，此時可考慮變量變化過程中的特殊位置（便于問題解決的位置）.在具體解題時，要善于從多角度思考，尋求運動變化的實質，從而使問題獲得靈活解決.

二、把握平行原理，變被動為主動

圖2

例2 如圖2，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點，F是側面CDD1C1上的動點，且B1F∥面A1BE，則BF與平面CDD1C1所成角的正切值構成的集合是（ ）.

解析：取CC1的中點M，C1D1的中點N，連接B1M，B1N，MN，易知B1M∥A1E，MN∥A1B，所以面B1MN∥面A1BE，故點P在線段MN上運動.在△B1PC1中，∠B1PC1即為B1、F與平面CDD1C1所成的角，tan∠B1PC1=，故當點P與點M或點N重合時，tan∠B1PC1取得最小值2，當點P位于MN的中點時，tan∠B1PC1取得最大值答案為C.

評注：空間中的平行關系有“線線平行”“線面平行”“面面平行”，應用其解題時要準確利用三種平行關系的推導，本題由“線面平行”聯想到“面面平行”，將動態的“線面平行”置于靜態的“面面平行”之中，進而將問題簡潔求得.

三、聯想特殊模型，化抽象為直觀

解析：如圖3，此題相當于一個邊長為1的正方形ABCD沿著對角線BD折成一個四面體，如圖4，長為a的棱長一定大于0且小于答案為A.

圖3

圖4

評注：高考中對立體幾何問題的考查，均以規則的幾何圖形出現，其規則的背后必有規則的背景，因此在解題中如果能挖掘其隱含條件，聯想相應的幾何模型，則使問題的求解過程直觀簡潔.

四、拓展平面結論，發散動態思維

圖5

例4 如圖5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動點，PE⊥A1C于點E，且PA= PE，則點P的軌跡是（ ）.

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分

D.拋物線的一部分

解析：在平面內到一個角的兩邊距離相等的點的軌跡為此角的平分線，如果將條件改為空間，則點的軌跡為平面，在此不妨稱之為角的平分面.而點P又在底面ABCD上，故點P的軌跡為兩面的交線.答案為A.

評注：在類比推理的學習中，如果我們能將平面中的有關結論推理到空間，在解題中均有廣泛的應用，如在平面中到兩個定點距離相等的點的軌跡為以這兩個定點為端點的線段的垂直平分線；如果將條件改為空間中，易知動點的軌跡為線段的垂直平分面.

五、充分利用函數的思想，以不變應萬變

圖6

（1）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長；

（2）略.

解析：（1） 設PA=x，則V棱錐A′-PBCD=x·令f（x）=（x＞0），則f′（x）=

x 0，2 3■3（ ） 2 3■3 2 3■3 ，+∞（）f′（x） + 0 -f（x） 單調遞增 極大值 單調遞減

評注：翻折的時候，體積處于“動態”變化之中，將導數、函數的思想融合在立體幾何中，可以很好地訓練學生的思維.另外立體幾何中經常會涉及角度、距離、面積、體積等最值問題的計算，通常可把這類動態問題轉化成目標函數或方程，利用代數方法求解.

六、尋根溯源，尋找極限點的準確位置

圖7

例6 如圖7，三棱錐P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=4，PB=PC=3，則面ABC上任一點到三個面的距離的平方和最小是_________.

解析：以PA、PB、PC所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，如圖7，令面ABC上任一點Q（x，y，z），則點Q到三個面的距離的平方和x2+y2+z2=|PQ|2，故所求的最小值就是點P到平面ABC的距離的平方，應用等體積法VP-ABC=VC-PAB，可得，所以

評注：變量的變化過程無法達到確定的端點位置，而端點的情況恰恰影響著問題的思考，此時可利用極限思想考慮運動變化的極限位置.運用運動觀點、極限的思想去觀察、分析、處理問題，可收到意想不到的效果.

總之，動態立體幾何問題包含了廣泛的數學思想方法，體現著從靜到動、從單一到多方面、從立方體本身應用問題到利用立方體去解決問題的發展變化.仔細研究這些變化對學好空間幾何無疑是大有裨益的.教學中教師應引導學生加強對空間圖形的研究以培養學生的空間想象、數形轉換及邏輯思維能力.F