整合課本資源，彰顯學(xué)科魅力
——話說橢圓的八個(gè)來歷及應(yīng)用

☉湖北省武漢市第十九中學(xué) 楊輝軍

☉湖北省武漢市第三中學(xué) 張儒玲

整合課本資源，彰顯學(xué)科魅力
——話說橢圓的八個(gè)來歷及應(yīng)用

☉湖北省武漢市第十九中學(xué) 楊輝軍

☉湖北省武漢市第三中學(xué) 張儒玲

數(shù)學(xué)課本是教學(xué)內(nèi)容的主要載體，更是課標(biāo)精神的重要體現(xiàn)，每一個(gè)例題和習(xí)題都經(jīng)過了反復(fù)推敲、精挑細(xì)選.可見，課本是重要的教學(xué)資源，有很高的教學(xué)和研究?jī)r(jià)值.

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學(xué)生受到實(shí)益，還要靠教師的善于運(yùn)用”.教師在實(shí)際教學(xué)中，合理使用資源，充分加以利用，靜態(tài)的課本就變得鮮活起來，處處充滿了數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力.

在《選修1-1》、《選修2-1》、《選修4-4》（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，數(shù)學(xué)，人民教育出版社A版）第二章“圓錐曲線與方程”的教學(xué)中，筆者注意到很多例題和習(xí)題都涉及同一個(gè)結(jié)果——所求問題的結(jié)論是橢圓，將這些課本資源進(jìn)行重組、整合，以全新的面貌出現(xiàn)在學(xué)生面前，在覺得眼前一亮之余，更豐富了橢圓定義的內(nèi)涵與外延，加深了對(duì)課本的認(rèn)識(shí).筆者姑且稱之為橢圓的八個(gè)來歷.

一、第一來歷

概念：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.

出處：課本《選修1-1》第32頁，

《選修2-1》第38頁.

符號(hào)：|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|）.

圖1

例題：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2，0）、（2，0），并且經(jīng)過點(diǎn)求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

出處：課本《選修1-1》第34頁例1，《選修2-1》第40頁例1.

出處：課本《選修1-1》第42頁習(xí)題2.1A組第1題，《選修2-1》第49頁習(xí)題2.2A組第1題.

解答：設(shè)點(diǎn)F1（0，-3）、F2（0，3），則|MF1|+|MF2|=10.

由橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是橢圓，焦點(diǎn)在y軸上，且a=5，c=3，b2=16.

二、第二來歷

結(jié)論：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線，其中點(diǎn)F是它的焦點(diǎn)，直線l是它的準(zhǔn)線，比值e是它的離心率.當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡是橢圓.

出處：課本《選修2-1》第76頁.

推導(dǎo)：如圖2，建立直角坐標(biāo)系，MH⊥l于H.

圖2

令b2=a2-c2，則點(diǎn)M的軌跡方程為

練習(xí)：點(diǎn)M（x，y）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線l：的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.

出處：課本《選修1-1》第41頁例6，《選修2-1》第47頁例6.

所以點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓.

解答：易知點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn).

如圖3，過A、B分別作左準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別是A1、B1.

圖3

同理，|BB1|=

過B作BC⊥AA1于點(diǎn)C，則|AC|=|AA1|-|BB1|=（|AF|-|BF|）.又e=，則|AC|=（|AF|-|BF|）.

歸納：設(shè)|AF|=r1，|BF|=r2，直線AB的傾斜角為θ，則有

例題：過橢圓的焦點(diǎn)F作直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑畫圓，則該圓與相應(yīng)準(zhǔn)線l的位置關(guān)系如何？

出處：課本《選修2-1》第81頁復(fù)習(xí)參考題B組第7題.

解答：如圖4，取AB的中點(diǎn)C，過A、B、C分別作l的垂線，垂足分別是A1、B1、C1.

圖4

所以以AB為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相離.

練習(xí)：點(diǎn)M與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求M點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

出處：課本《選修1-1》第43頁習(xí)題2.1B組第2題，《選修2-1》第50頁習(xí)題2.2B組第3題.

三、第三來歷

結(jié)論：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A（-a，0）、B（a，0）的連線的斜率之積是常數(shù)m（m＜0且m≠-1）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

推導(dǎo)：設(shè)M（x，y），且kAM·kBM=m.

練習(xí)：如圖5，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

出處：課本《選修1-1》第35頁例3，《選修2-1》第41頁例3.

圖5

簡(jiǎn)答：kAM=

四、第四來歷

結(jié)論：在圓x2+y2=r2上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD，垂足為D，動(dòng)點(diǎn)M滿足（λ≠0）（M不與P、D重合），當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

例題：在圓x2+y2=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？

出處：課本《選修1-1》第34頁例2，《選修2-1》第41頁例2.

解答：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則x=x0，y=

圖6

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以

把x0=x、y0=2y代入方程得x2+4y2=4，即y2=1，所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.

出處：課本《選修1-1》第43頁習(xí)題2.1B組第1題，課本《選修2-1》第50頁習(xí)題2.2B組第1題.

圖7

五、第五來歷

例題：如圖8，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

圖8

出處：課本《選修1-1》第42頁習(xí)題2.1A組第7題，《選修2-1》第49頁習(xí)題2.2A組第7題.

解答：因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線l上，所以|QA|= |QP|，則|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又r＞|OA|，則點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)的橢圓.

練習(xí)：已知A B是圓（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_________.

解答：因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，所以|PA|=|PB|，則|PA|+ |PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2.又2＞|AF|=1，則點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓.

圖9

六、第六來歷

例題：如圖10，矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6.E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R、S、T是線段OF（O是矩形的中心）的四等分點(diǎn)，R′、S′、T′是線段CF的四等分點(diǎn).請(qǐng)證明直線ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點(diǎn)L、M、N都在橢圓上.

圖10

出處：課本《選修1-1》第43頁習(xí)題2.1B組第3題，《選修2-1》第50頁習(xí)題2.2B組第4題.

解答：如圖11，建立直角坐標(biāo)系.

由E（0，-3）、R（1，0），得直線ER的方程為3x-y-3=0 ①.

圖11

由G（0，3）、，得直線GR′的方程為3x+16y-48=0 ②.

圖12

將①式與②式相乘，得y2-1=-，即點(diǎn)M的軌跡方程為

七、第七來歷

結(jié)論：如圖13，以原點(diǎn)O為圓心，a、b（a＞b＞0）為半徑分別作兩個(gè)同心圓.設(shè)A為大圓上的任一點(diǎn)，連接OA，與小圓交于點(diǎn)B.過點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M.則點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）.

圖13

出處：課本《選修4-4》第27頁.

推導(dǎo)：設(shè)以O(shè)x為始邊，OA為終邊的角為φ，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，y）.那么點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y.由于點(diǎn)A、B均在角φ的終邊上，由三角函數(shù)的定義有x=|OA| cosφ=acosφ，y=|OB|sinφ=bsinφ.

當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，就得到了點(diǎn)M的軌跡，它的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）.

出處：課本《選修4-4》第29頁.

解答：設(shè)M（5cosφ，4sinφ）是橢圓上任一點(diǎn)，則z= 5cosφ-8sinφ=，其中cosθ=

當(dāng)φ+θ=2kπ（k∈Z）時(shí)，zmax=，此時(shí)x=5cosφ= 5cos（2kπ-θ）=5cosθ=，y=4sinφ=4sin（2kπ-θ）=，即

當(dāng)φ+θ=π+2kπ（k∈Z）時(shí)，zmin=-，此時(shí)

解答：設(shè)A（0，-1）、B（2cosφ，sinφ），d=|AB|.

d2=4cos2φ+（sinφ-1）2=-3sin2φ-2sinφ+5=-3

八、第八來歷

探究：橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖14所示.在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定滑塊A、B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周就畫出一個(gè)橢圓.你能說明它的構(gòu)造原理嗎？

圖14

圖15

出處：課本《選修4-4》第28頁探究.

結(jié)論：如圖15，點(diǎn)A、B分別在y軸、x軸上移動(dòng)，點(diǎn)M在直線AB上，且|AM|=a，|BM|=b（a＞b），則點(diǎn)M的軌跡方程為

推導(dǎo)：如圖15，設(shè)∠xBM=φ，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（acosφ， bsinφ），即點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），從而得點(diǎn)M的軌跡方程為

圖16

練習(xí)：如圖16，A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，點(diǎn)P在線段AB上，|AB|=5，|AP|∶|BP|=3∶2則點(diǎn)P的軌跡方程為_________.

解答：設(shè)P（x，y）、A（a，0）、B（0，b）.

由|AB|=5，得a2+b2=25，則

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，資源整合是指將有限的資源進(jìn)行最合理的利用.可見，教學(xué)資源的整合，尤其是課本資源的整合是很有價(jià)值和必要的.這種整合不僅立足于知識(shí)的傳遞，而且進(jìn)一步豐富了學(xué)習(xí)者的經(jīng)歷，增加了他們獲取知識(shí)的途徑，拓寬了所學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和外延.如果教師帶著新思想、新視野、新做法，做到藝術(shù)性地駕馭課堂和課本，實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源整合，對(duì)教者與學(xué)者來說，都受益匪淺，能真正做到教學(xué)相長(zhǎng).

本文僅涉及數(shù)學(xué)教材內(nèi)的資源整合.在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)教材的魅力，意識(shí)到了課本資源的重要性，眼界大開，思路更活.而對(duì)教師來說，在此過程中提高了歸納、整合和研究的能力.教與學(xué)兩個(gè)方面都有收獲.