基于RRT-GPM兩階策略的導彈編隊協同突防最優軌跡快速設計

黃 榮，崔乃剛，韋常柱，王勁博，黃盤興

（1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 航天科技集團 運載火箭研究院，北京 100076）

基于RRT-GPM兩階策略的導彈編隊協同突防最優軌跡快速設計

黃 榮1,2，崔乃剛1，韋常柱1，王勁博1，黃盤興1

（1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 航天科技集團 運載火箭研究院，北京 100076）

為了提高導彈編隊的自主飛行能力，在考慮彈間協同相對運動關系（通信、避碰、探測）和突防硬/軟約束的情況下，對彈群的多約束快速軌跡優化問題進行了研究。針對高斯偽譜法初值確定困難和快速搜索隨機樹法結果曲折不尋優難以滿足動力學約束的不足，通過對高斯偽譜法快速性的分析和初值選取方法的研究，提出了快速搜索隨機樹+高斯偽譜法兩階快速軌跡優化策略，充分利用快速搜索隨機樹法的全空間搜索能力為高斯偽譜法提供尋優初始值，同時利用高斯偽譜法的快速性和最優性對快速搜索隨機樹法的結果進行平滑和進一步尋優，從而快速獲得最優的彈群飛行軌跡。領-從彈編隊飛行模式下的仿真結果表明，兩階策略能夠快速獲得滿足各種約束的彈群最優飛行軌跡，優化時間約為單獨高斯偽譜法所需時間的20%左右，很大程度上提高了軌跡優化的快速性和準確性，并且證明了不同約束條件對優化速度和優化結果的影響。

導彈編隊；快速軌跡優化；高斯偽譜法；快速搜索隨機樹；兩階優化策略

未來戰爭將是體系與體系的對抗，尤其是以精確制導武器為主的攻擊體系與以地/空、艦/空導彈為主的防御體系之間的對抗[1]。面對現代防御系統的威脅，導彈編隊協同作戰是一種提高突防能力的有效措施。在戰場環境快速變化、敵方機動防空火力臨時部署和各種干擾條件下，快速軌跡優化技術可使彈群自主地維持并優化其使命功能，是提高導彈編隊作戰效能的有效手段。相對無人機和衛星編隊，導彈編隊協同突防飛行速度快，約束要求嚴格，戰場環境復雜多變，給快速軌跡優化技術帶來了新的要求和挑戰。

目前，針對導彈編隊的軌跡優化設計往往采用比較成熟的路標圖法、快速搜索隨機樹、A*搜索法、人工勢場法、遺傳算法、蟻群算法及粒子群算法等[2-7]，這些算法或者只能獲得飛行器的航線/航路，而非嚴格意義上的飛行軌跡[8]，或者計算量較大，計算時間較長，不能滿足戰場環境快速變化的要求。軌跡優化算法（如直接打靶法、高斯偽譜法等）直接從飛行器的飛行性能模型出發，在充分考慮速度、過載變化等微分約束以及航向、俯仰角等姿態約束的條件下生成飛行軌跡的控制指令序列，其規劃結果更具有可飛性[9]。

在快速軌跡優化領域，高斯偽譜法作為最具發展潛力的一種優化算法獲得了廣泛的研究[10-15]。現有的基于高斯偽譜法的快速軌跡優化研究主要是針對算法本身開展的，研究對象也僅局限于單個飛行器。但實際上，優化初值選取問題往往關系到優化算法的效率甚至成敗。目前，從初值選取的角度提高優化速度的研究在國內外還相對較少[16-17]。本文研究的導彈編隊協同突防軌跡優化問題更為復雜，其運動模型非線性、彈群成員相對運動關系耦合，即使經過簡化，仍是具有較多變量的高維問題[18]，并且需要考慮動力學和突防避障的約束，優化問題的可行域可能是十分狹窄的非凸區域，因此如何獲得一個可行甚至次優的初值尤為關鍵。

針對以上問題，本文提出了基于快速搜索隨機樹+高斯偽譜法的兩階快速軌跡優化方法。首先基于“領彈+從彈”的作戰模式，給出了一種可行的導彈編隊協同突防策略。然后提出了硬威脅約束和軟威脅約束的概念，建立了導彈編隊協同突防問題的相關模型。接著從插值代替積分和約束雅克比矩陣稀疏性兩個方面對高斯偽譜法的快速性進行了分析討論，總結了軌跡優化的初值選取的主流方法，進而提出了RRT+GPM兩階快速軌跡優化方法。最后分別采用單獨GPM和RRT+GPM兩階方法，對問題模型進行了優化仿真分析，驗證了兩階方法對提升優化速度的有效性，以及不同約束條件對優化速度和結果的影響。

1 導彈編隊協同突防問題建模

1.1導彈編隊運動模型

本文以亞音速巡航導彈為背景，建立基于過載控制導彈的三自由度運動模型[19]，具體形式如下：

其中，n為導彈編隊的成員數，其它變量的具體含義可見參考文獻[19]。

1.2戰場想定與彈群協同策略

本文以“領彈+從彈”的協同作戰模式為研究背景，協同約束為導彈時間和功能上的協同。如圖1和圖2所示，想定由三枚巡航導彈組成的彈群（其中一枚為領彈，兩枚為從彈）對敵方某戰略要地N進行打擊（圖1），根據戰場的變化（如威脅區域）需要對飛行軌跡進行快速優化（圖2）。圖2中C為彈群出發點，Q為打擊前的集結點。

從彈與領彈的氣動外形、尺寸、動力均相同，但其器件配置和載荷不同，如根據任務需求不同，可對從彈配置不同體制的探測器和戰斗部。通過靈活地配置從彈成員，可增強整個彈群對不同威脅進行突防,對不同目標進行打擊的任務魯棒性，達到“1+1>2”的突防和打擊效果。

圖1 戰場想定樣式示意圖（未考慮威脅）Fig.1 Schematic of battlefield scenario (without considering threat)

根據上述的協同策略，建立彈群成員相對運動的約束關系模型：

圖2 優化軌跡示意圖（考慮威脅）Fig.2 Schematic of optimal trajectory (considering threat)

其中，RLead-Follow為領彈與從彈的距離，Ri,j為任意兩枚彈之間的距離，RDateLink為有效數據鏈通信質量下的最大距離，Rimpact為彈間避碰的距離約束，RDetect-i-j為有效協同探測質量下的彈間距離約束。

1.3防空火力威脅建模

防空火力威脅的建模主要有以下兩種方式：一是將其建模為問題的約束，即設定一定區域的“禁飛區”，彈群不允許進入此區域；二是將其建模為性能指標，即允許彈群成員進入上述所謂“禁飛區”，但要根據導彈與防空火力部署的相對位置確定其所受到的威脅程度，將威脅程度作為優化中性能指標的一部分。本文將第一種方式稱為“硬約束”，第二種稱為“軟約束”。

采用硬約束模型時，模型簡單，并可保證彈群的絕對安全。然而這種模型對彈群的飛行約束較強，這可能會導致優化過程中無法找到可行解或可行域過于狹窄。硬約束模型具體為

式中：m為防空火力威脅陣地個數，Rmissile_i,threat_j為第i枚導彈與第j個防空陣地的距離，hardR為防空火力最大威脅范圍。

采用軟約束模型時，防空火力對彈群的威脅可用概率來表示，對彈群的飛行路徑約束較弱，優化問題的可行域相對硬約束范圍較寬。當對其他的性能指標有較高要求時，甚至可能出現導彈與防空陣地十分接近的情況。同時，軟約束模型相對比較復雜，涉及的變量多，使得約束雅克比矩陣維數變大,依賴變量增多，進而導致優化問題的求解相對緩慢。軟約束模型具體為

其中，Pdanger,i為第i枚導彈在戰場中受到的威脅概率，1-Rmissile_i,threat_jRhard為第i枚導彈受到第j個防空陣地威脅的概率。顯然相對距離越近，威脅程度越高。另外，本文假設理想情況下防空火力對巡航導彈的殺傷概率為0.9。

2 基于RRT+GPM的快速優化策略

2.1快速搜索隨機樹法

快速搜索隨機樹法是由Steven M. LaValle于1998年首次提出的[20]。快速搜索隨機樹算法由于采用隨機采樣的規劃方法，不需要預處理，搜索速度快，在高維空間中速度優勢尤為明顯，因此該算法得到了很多研究者的青睞[21]。雖然快速搜索隨機樹算法在搜索速度、隨機性、約束完整性等方面得到了一定的改進[5,22-23]，使其更易于處理地理形狀的威脅障礙以及處理動態威脅信息，易與飛行器的運動學約束條件相結合，但其結果仍然很難完全滿足動力學約束和最優性，往往只能作為參考航線，而不能直接作為飛行軌跡。

2.2高斯偽譜法的快速性分析

收斂效率通常是衡量一種優化算法好壞的重要標準。高斯偽譜法得到廣泛研究和應用的一個重要原因就是其解算的高速性[24]，歸納其原因主要有兩點，一是利用插值代替積分，二是獨特離散方式帶來的雅克比矩陣的高度稀疏特性。

高斯偽譜法在離散過程中，對狀態變量在一系列的勒讓德-高斯（LG）點上進行插值，對插值結果進行微分，并在LG點上進行配置，這就以代數方程取代了微分方程。高斯偽譜法同時離散狀態變量和控制變量，對于非線性規劃問題（NLP）的每一步迭代求解，都能直接得到更新的狀態和控制變量，進而可以直接計算約束和約束的雅克比矩陣，也就省去了數值積分的過程。

經高斯偽譜法離散得到的非線性規劃問題可由序列二次規劃算法（SQP）進行求解，其實質上是對拉格朗日函數施行擬牛頓法，將擬牛頓法推廣到有約束的最優化問題。約束雅克比矩陣(xk)的稀疏性對SQP計算效率的提高有很大幫助。由于對離散點的設置，高斯偽譜法生成的約束雅克比矩陣是極為稀疏的，其具體形式如圖3所示。

可以看出，所有的動力學約束對所有的狀態變量的雅克比矩陣只有在對角線上子塊為滿陣，其余皆為對角陣或零陣，并且即使滿陣也只有在上對角線上的元素是隨著迭代變化的，其他元素均為常數。而系統動力學約束對控制變量的雅克比矩陣以及路徑約束和邊界條件對狀態和控制變量的雅克比矩陣皆為對角陣、上對角陣或零陣。因此，高斯偽譜法生成的約束雅克比矩陣是極為稀疏的，這就大大提高了NLP問題的求解速度。

圖3 雅克比矩陣稀疏結構示意圖Fig.3 Schematic of Jacobian matrix sparse structure

利用插值代替積分和雅克比矩陣的高度稀疏特性，是由高斯偽譜法離散結構產生的快速性優勢。這種快速特性，正是本文所希望達到的快速軌跡優化能力的基礎。

2.3高斯偽譜法的初值選取問題

對于類似高斯偽譜法這樣的軌跡優化直接法，需要選擇優化量的初始值以啟動優化迭代過程。初值選取的恰當與否關系到優化的效率甚至成敗，一個好的初值對于減小迭代步數進而減少NLP計算時間是十分重要的。

由于可使用較少的離散點得到高精度的解，高斯偽譜法被廣泛認為最具潛力發展為一種實時優化算法。若能為高斯偽譜法提供一個可行的初值，顯然會使其進一步向實時優化能力靠近。對于初始選取方法，可歸納為工程經驗法、網格重構法、“熱啟動”法、同倫法等幾種。

目前大多數初值算法或者構造求解困難，如同倫法、解析法，或者求解速度慢，如經驗法、遺傳算法等智能算法。本文采用編隊航跡規劃領域相對比較成熟的RRT作為GPM的初值確定方法，充分利用了其全空間搜索能力、搜索速度快和對威脅障礙的處理能力。

2.4RRT+GPM兩階軌跡優化策略

對于可行域相對狹窄的優化問題，優化初值的選取對于優化速度和結果都有非常大的影響。如果初值選取不合理，會使優化過程陷入對可行解的費力尋找，影響求解速度；當初值偏離可行域較遠時，可能會因為找不到可行解而導致優化失敗。在處理對實時性有要求或對時間敏感的問題時，這種緩慢的解算顯然是無法滿足需求的。

理論上，快速搜索隨機樹法和高斯偽譜法都可單獨對導彈編隊協同突防問題的軌跡做出規劃/優化。然而，RRT結果曲折不尋優，難以滿足飛行動力學約束，GPM希望初值可行，兩種方法都有一些固有的缺陷，使得在針對很多感興趣的對象進行規劃/優化時難以得到令人滿意的結果或計算性能。

圖4 RRT+GPM兩階優化策略流程圖Fig.4 Flowchart of two-stage optimization strategy of RRT+GMP

在導彈編隊飛行問題中，其微分約束有兩種，即動力學約束和運動學約束。運動學約束關注的是導彈在空間的位形，而不涉及引起運動的力和力矩作用。本文提出的基于RRT+GPM的兩階軌跡規劃方法，充分利用兩種算法的優點以彌補各自的不足。其基本思想是利用快速搜索隨機樹方法對原問題進行運動學規劃，即暫不考慮飛行器的動力學約束和性能指標，僅根據其運動學規律和對避障的要求，對飛行器進行航線規劃（Planning），迅速找出一條滿足路徑和終端約束的可行解。接著從可行解中挑選一定個數的值作為優化問題的運動學初值，再利用GMP對原問題進行優化求解。此時，在優化問題的前幾次迭代中，通過對微分方程的約束就可使運動學與動力學狀態量全部處于可行域內，進而迅速得到最優解。針對導彈編隊協同突防問題，RRT+GPM兩階優化策略流程如圖4所示。

高斯偽譜法的快速性和最優性是兩階優化策略的基礎，快速搜索隨機樹法的快速性和全空間搜索能力是兩階優化策略的關鍵。為了進一步提高算法的收斂性和快速性，在兩階優化策略中采用文獻[23]提出的改進雙邊RRT算法以有效處理任務環境中的突防威脅，采用文獻[12]提出的改進的hp自適應高斯偽譜法以處理偽譜法插值和數值積分得到的狀態量和約束的偏差問題。值得注意的一點是，本文強調的是RRT為GPM提供可行初值這一思路，反過來，也可以將GPM的優化計算看作是對RRT計算結果的平滑和進一步尋優。

3 仿真驗證與分析

3.1優化模型建立

考慮“軟威脅約束”，導彈編隊協同突防問題優化模型的性能指標函數為

其中，Rangei為第i枚彈的航程，iη為第i枚彈的航程在優化性能指標中所占的權重，Dangerj為第j枚彈在飛行過程中受到的威脅程度，jρ為第j枚彈在飛行過程中受到的威脅程度在優化性能指標中所占的權重。優化問題的微分約束和協同相對運動約束分別為公式(1)和(2)。

在此，為保證數量級一致，以及加強對領彈的保護，領彈的1η取為1/10000，1ρ取為3；從彈的2η和3η取為1/10000，2ρ和3ρ取為2.5。在此模型中，彈群的總航程和受威脅度都在性能指標中，即要求在減少航程減少油耗的同時受到盡可能小的威脅。

不同仿真環境下程序運行速度不同，本文仿真環境為帶有Intel Core i5處理器Lenovo E47筆記本電腦。

3.2基于猜值的GPM優化

在仿真算例中，所有的初值選取為兩個點，即初始點和終點，在每個離散點上的初值則為這兩個點插值的結果。

飛行路徑中設置三個防空火力威脅區，在55000m ×5000m×55000m的空間內進行優化搜索。在第1節中提到的C點中，領彈位于[0, 500, 0]，從彈1位于[300, 500, 0]，從彈2位于[0, 500, 300]。威脅1位于[25000, 0, 25000]，其“硬”防御范圍為7000，取“軟”威脅約束時防御范圍為10000；威脅2位于[40000, 0, 35000]，其“硬”防御范圍為5000，取“軟”威脅約束時防御范圍為7000；威脅3位于[10000, 0, 15000]，其“硬”防御范圍設為3000，取“軟”威脅約束時防御范圍為5000。在Q點中，領彈、從彈1、2的部署位置分別為[50000, 500, 50000]、[50300, 500, 50000]、[50000, 500, 50300]。

圖5 硬約束時GPM優化的編隊飛行平面軌跡Fig.5 Plane trajectory of formation flight optimized by GPM with hard constraints

圖6 軟約束時GPM優化的編隊飛行平面軌跡Fig.6 Plane trajectory of formation flight optimized by GPM with soft constraints

采用高斯偽譜法進行優化解算，取硬約束時的優化計算時間為156 s，取軟約束時的優化計算時間為279 s，優化結果分別如圖5和圖6所示。

由仿真結果可以看出，當把威脅模型作為優化指標時，優化的求解速度明顯減慢，這是因為性能泛函對狀態變量的依賴程度大幅度增加，需要對其進行大量的偏導計算，導致優化時間較長。

由圖5可看出：“硬約束”情況下領彈和從彈都完全避開了威脅區；領彈和從彈2從威脅的一側經過，從彈1由另一側經過，這是由初始和終端狀態不同引起的。由圖6可看出：由于領彈的威脅度指標的權重要高于從彈，領彈和從彈2在彈群總的威脅度中占絕大比例，再結合減小航程的要求，領彈和從彈2基本上完全避開了威脅區，而從彈1的彈道通過了威脅區域，結果與前面的分析一致。

3.3RRT+GPM兩階優化

使用RRT+GPM兩階軌跡優化策略對上述導彈編隊協同突防問題進行求解。第一階改進RRT計算結果如圖7所示，其中左下角綠色圓點為彈群的起點，右上角紅色圓點為終點，黑色區域為避障“禁飛區”。在RRT規劃中，只考慮硬威脅約束，規劃結果也可作為軟威脅約束優化的初值。

圖7 RRT規劃得到的編隊飛行平面軌跡Fig.7 Plane trajectory of formation flight planned by RRT

從仿真結果可以看出，通過RRT規劃出的彈群飛行軌跡完全避開了威脅區域，但是其軌跡并不光滑，而且也明顯不是最優的。

使用RRT生成的軌跡作為初值再進行GPM優化，所得結果與3.2中的基本一致，此處就不再贅述。表1總結了使用不同策略進行優化時的計算用時。

由以上仿真結果可明顯看出，使用RRT+GPM兩階優化策略時所用的計算時間僅為使用猜測初值GPM所用時間的20%左右，說明通過RRT為GPM提供初值的兩階優化策略大大提高了導彈編隊協同突防的軌跡優化速度。

表1 不同優化策略的用時對比Tab.1 Comparison on times consumed by different optimization strategies

4 結 論

針對“硬約束”和“軟約束”兩種避障模式下的導彈編隊協同突防最優軌跡快速設計問題，以高斯偽譜法的快速性分析和初值選取問題為切入點，提出了快速搜索隨機樹+高斯偽譜法的兩階快速軌跡優化策略。該策略首先利用了快速搜索隨機樹法的全空間搜索能力獲得滿足運動學和避障約束的彈群航線，再利用高斯偽譜法的快速性和最優性獲得滿足全部約束和性能最優的彈群飛行軌跡，解決了高斯偽譜法初值確定困難和快速搜索隨機樹法結果曲折不尋優、難以滿足飛行動力學約束的問題。

仿真結果表明，快速搜索隨機樹+高斯偽譜法的兩階快速軌跡優化策略大大提升了優化的速度，是導彈編隊協同突防最優軌跡快速設計的一種有效手段，為在線軌跡優化和實時最優控制的實現提供一種有價值的思路和手段。仿真結果同時證明了不同約束條件對優化速度和優化結果的影響。

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Rapid trajectory optimization for cooperative penetration of missile formation based on two-stage RRT-GMP strategy

HUANG Rong1,2, CUI Nai-gang1, WEI Chang-zhu1, WANG Jin-bo1, HUANG Pan-xing1
(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. China Academy of Launch Vehicle Technology, China Aerospace Science and Technology Corporation, Beijing 100076, China)

In order to improve the autonomous flight capability of a missile formation, this paper studies the rapid optimization of a missile formation’s trajectory with multi-constraints by considering the cooperative relative motion relationship between missiles and the hard/soft constraints in penetration. In view that the Gauss pseudospectral method (GPM) has difficulties in selecting initial values, and the rapidly-exploring random tree (RRT) obtains flectional and non-optimal results which are difficult to meet the dynamic constraints, a two-stage optimization strategy of RRT and GPM is proposed based on the analyses of GPM’s rapidity and initial value selection. The two-stage strategy takes advantage of the whole-space-search ability of RRT to provide initial values for GPM. Meanwhile, the rapidity and optimality of GPM is used to further smooth and optimize the results of RRT. Then several simulations for the flight mode of the “leader-follower” are conducted to demonstrate the effectiveness of the strategy and the effects of different constraints. The simulation results show that the two-stage strategy can rapidly obtain a missile formation’s optimal flight trajectory to meet various constraints, and the optimization time by the two-stage strategy is only about 20% of that by GPM alone.

missile formation; rapid trajectory optimization; Gauss pseudospectral method; rapidly-exploring random tree; two-stage optimization strategy

V448.2

A

1005-6734(2015)03-0356-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.03.014

2015-01-04；

2015-05-08

國家自然科學基金項目（61403100）；中央高校基本科研業務費專項基金項目（HIT.NSRIF.2015037）

黃榮（1986—），男，博士生，研究方向為飛行器總體設計、軌跡優化與制導控制。E-mail：I_amhuangrong@163.com