基于混合優化的運載器大氣層內閉環制導方法

崔乃剛，黃盤興，韋常柱，傅 瑜，程 超

基于混合優化的運載器大氣層內閉環制導方法

崔乃剛1，黃盤興1，韋常柱1，傅 瑜2，程 超1

（1. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統工程研究所，北京 100076）

針對運載器大氣層內最優閉環制導問題，研究了一種將求解最優控制問題的間接法與直接法相結合求解最優上升軌跡的軌跡在線規劃與閉環制導方法。該方法采用高斯偽譜法求解基于間接法推導的最優上升軌跡兩點邊值問題，能以較少的離散節點獲得較高的求解精度，并具有較高的求解效率。為了進一步保證制導的實時性與飛行安全要求，提出了軌跡在線規劃與閉環制導策略。最優上升軌跡求解結果表明，在同等的求解精度條件下，混合優化算法的離散節點個數僅為間接法的25%～40%，計算效率提高了50倍左右。建立導航模型進行閉環制導蒙特卡洛打靶仿真，制導算法滿足實時性與過程約束要求，關機點高度、速度、彈道傾角及軌道傾角的最大偏差分別為-8.93 m、-3.35 m/s、0.015°、0.0018°，算法具有較高的制導精度。

運載器；大氣層內；最優閉環制導；間接法；高斯偽譜法；混合優化

運載器在大氣層內上升飛行過程中，由于同時受到地球引力、發動機推力及氣動力作用，運動數學模型較為復雜，存在飛行約束。采用閉環制導存在較大的計算量與難度，且對于具備真空段閉環制導能力的運載器，大氣層內開環制導造成的偏差可以通過真空段的高精度制導方法進行消除。故傳統運載器大氣層內上升段采用開環制導方案：射前根據預測的風場模型離線設計參考軌跡，飛行中根據裝訂的姿態指令進行導引。該方法缺乏自主性，為了保證運載器的飛行安全，需要在射前進行大量的任務設計與分析工作。除了設計與驗證一條可行飛行軌跡外，還需設計好應對突發事件的處理程序，如發動機故障處理、應急返回等，以保證任務不能被環境條件、突發事件（如臨近發射時任務目標或約束的改變）而導致發射延誤或失敗。若實際風場與用于設計的預測風場存在很大差異時，將取消發射或延遲發射。開環制導方案存在耗時長，設計成本高，不能處理緊急發射任務，任務適應性差，制導精度低等缺點[1]。

為了解決傳統運載器大氣層內開環制導存在的問題，并實現未來先進運載器快速、自主、高精度、低成本的發展目標，學者們開始研究基于最優控制的運載器大氣層內軌跡在線規劃方法。該方法根據運載器的當前狀態，在線計算出滿足過程約束及終端約束要求的最優飛行軌跡及參考指令，實現最優閉環制導。由于模型的復雜性，如何保證最優飛行軌跡求解的實時性是實現運載器大氣層內最優閉環制導的關鍵。目前，研究較熱的是基于間接法的最優閉環制導技術[2-8]，其基于最優一階必要條件將帶約束的最優上升軌跡問題轉換成兩點邊值問題，采用有限差分法進行求解，并應用真空解析解初值及密度同倫技術，以保證算法的可靠收斂。大量的數值仿真結果表明，該方法可滿足最優飛行軌跡求解的實時性要求，是一種可行、有效的運載器大氣層內最優閉環制導方法。然而，該方法存在不能同時保證較高的求解精度與求解效率的缺陷，其求解精度與求解效率是相互矛盾的，二者不可兼得。

針對間接法在求解精度與求解效率相沖突的問題，本文研究了一種采用Gauss偽譜法求解基于間接法推導出的大氣層內最優上升兩點邊值問題的混合優化方法：采用統一的插值函數同時對協態變量與狀態變量進行離散，將兩點邊值問題模型轉化為代數方程組，并采用改進牛頓法進行數值求解。同時，提出了滿足制導實時性與飛行安全要求的軌跡在線規劃與閉環制導策略，包括合理選擇軌跡在線規劃周期與離散區間數目、在線串行優化、自適應反饋更新、強路徑約束與導引指令變化率約束等。最后進行了運載器的大氣層內上升段軌跡優化設計對比仿真分析及基于蒙特卡洛打靶的閉環制導仿真驗證。

1 運載器大氣層內最優上升問題模型

1.1大氣層內運動數學模型

為了增強數值計算的穩定性和準確性，采用無量綱的運動數學模型。運載器質量()mt由推進劑秒耗量決定，可視為飛行時間的函數，不作為狀態量。運載器在發射慣性坐標系下無量綱運動方程為[2,4]

式中：r與V∈R3為無量綱的地心距矢量和速度矢量；T為無量綱的發動機推力加速度；A、N分別為無量綱的軸向、法向氣動加速度；1b為運載器體軸方向的單位矢量；1n為位于運載器的縱對稱平面內與1b垂直的單位矢量。無量綱化的氣動力和推力加速度大小表示為

式中：0R為地球赤道半徑；0g為地球赤道引力加速度；0ρ是在0R處的大氣密度；()rρ為地心距r處的大氣密度；rV為相對地球的無量綱速度大小，

式中：Eω為無量綱的地球自轉角速率，wV為無量綱的風速；軸向力、法向力系數AC、NC均為攻角α和馬赫數Ma的函數；refS為參考面積；大氣層內的推力損失0TΔ≤為地心距r的函數。

運載器采用BTT控制方式，其縱向對稱面位于體軸b1與相對地球速度rV組成的平面內，側滑角為0，有

式中：rV1為rV的單位矢量。

為了保證結構安全，運載器大氣層內上升飛行中需滿足一定的過程約束。這里考慮氣動彎矩約束（攻角及動壓的乘積）：

式中：q=ρVr2/2；Qα為允許的最大氣動彎矩。終端約束條件一般考慮標準關機條件：地心距、速度、軌道傾角i*及彈道傾角γf*，它們等價于給定半主軸、偏心率、軌道傾角及關機點的真近角。令1N為平行于地球極軸并指向北極的單位矢量，終端約束條件表示為

運載器的初始狀態是已知的，則大氣層內最優上升問題可描述為：根據當前的初始狀態，尋找最優的體軸方向b1及發動機關機時間ft，使運載器的飛行軌跡滿足過程約束的同時，在關機時刻達到給定的終端狀態，并使某項性能指標最優。一般取飛行時間最短或燃料消耗最少為性能指標，二者是等價的。

1.2最優上升模型

一般采用內、外雙層迭代的方法求解運載器大氣層內最優上升問題[3]：內層采用最優控制算法求解給定飛行時間的終端能量最優上升軌跡問題，此時不考慮終端速度（或能量）約束；外層則調節飛行時間，使速度（或能量）滿足終端的約束條。該最優控制問題與飛行時間最短問題等價，其外層迭代可采用割線法、牛頓迭代法搜索飛行時間，其求解較為簡單。復雜內層最優上升軌跡問題的快速、精確求解是實現最優閉環制導的關鍵，是本文主要的研究內容。

根據上述分析，選取性能指標為根據最優控制理論，哈密頓函數定義為式中：rp和3

VR∈p為協態變量；qαλ為標量乘子，當

協態變量微分方程的展開式比較復雜，可參考文獻[2]。根據控制方程，可推導得最優體軸表達式為根據極小值原理，最優解的標準必要條件為

式中：Φ為pV與Vr間的夾角；1pV為pV的單位矢量；攻角α通過求解tan(Φ-α)(T-A+Nα)-(Aα+N )=0得到。根據及發射慣性系與本體系之間的坐標轉換關系，可計算出俯仰角、偏航角及滾轉角指令。

對于固定飛行時間的能量最優問題，最優控制解必須滿足式(7)中的前3個終端約束條件及根據6個橫截條件推導得到的如下3個代數約束：

式中：Hf=rf×Vf。式(12)與式(7)的前三個約束構成了6個終端邊界條件。

1.3Hamiltonian兩點邊值問題模型

式中：B0為給定的6個初始狀態條件x(t0)；Bf為6個終端邊界條件。Hamiltonian兩點邊值問題描述為：尋找協態變量初值p(t0)，使得系統y˙=f(t,y)在終端滿足邊界條件Bf=0。

2 高斯偽譜求解算法

式(13)給出的運載器大氣層內最優上升Hamiltonian兩點邊值問題模型較復雜，目前采用的有效求解方法是有限差分法[2-8]，其通過中心有限差分將非線性微分方程組離散成非線性代數方程組進行求解，存在求解精度與求解效率相矛盾的問題。為了滿足軌跡在線規劃與閉環制導的實時性，需取較少的離散節點個數，以犧牲求解精度來獲得較快的求解速度。Gauss偽譜法是求解最優控制問題直接法中的一種新方法，其利用插值代替積分和雅克比矩陣高度稀疏特性，使得能以較少的節點獲得較高的最優控制問題的求解精度，且其非線性規劃問題的KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件與離散的哈密頓邊值問題的一階最優條件具有一致性，避免了直接法存在的缺陷[9-13]。

為了能在獲得較快求解速率的同時保證較高的求解精度，采用高斯偽譜法能以較少的離散節點精確逼近微分方程系統的特性，基于Gauss偽譜法求解運載器大氣層內最優上升Hamiltonian兩點邊值問題。

2.1兩點邊值問題轉化成代數方程組約束

首先采用公式t=[(tf-t0)τ+(tf+t0)]2把時域t∈[t0,tf]轉化到高斯點的分布區間τ∈[-1, 1]上。此時，式(13)變為

然后，用初始端點01τ=-與N個高斯點12,,ττ ...,Nτ(Legendre-Gauss點)上的離散狀態構造全局Lagrange插值多項式去近似真實狀態。需同時對狀態變量與協態變量進行離散：

式中：y(τ)為實際的狀態變量與協態變量時間歷程；Y(τ)為近似的狀態變量與協態變量時間歷程；Y (τi)為離散點上的狀態值；Li(τ)為Lagrange插值基函數：

最后，分別對式(15)中的()τy、()τY進行求導，并讓其導數相等，可得12N個代數方程：

式中，kiD為常值矩陣，

式(17)的代數約束均在Legendre-Gauss點上，還缺少兩個邊界點的狀態約束。起始邊界點的狀態約束為0B，終端邊界點的狀態可由高斯求積公式得到：

根據終端邊界點狀態可形成終端邊界約束Bf。定義=[,]T，Hamiltonian兩點邊值問題變成12(N+1)個非線性代數方程組E=(,...)T根X=(,...)T∈R12(N+1)的求解問題。

2.2帶松弛因子的改進牛頓數值求解算法

牛頓法求解非線性方程組具有收斂快、穩定性好、精度高等優點。為了保證序列{E(Xj)}單調遞減，采用帶松弛因子的改進牛頓法來求解非線性方程組E。從初始猜想值Y0開始，迭代公式為

式中：i≥0，0＜σj≤1，0＜β＜1；σj為松弛因子。當E(Xj)小于給定的允許值時，即認為收斂。第j次迭代的搜索方向dj為

3 軌跡在線規劃與閉環制導策略

采用混合優化算法進行運載器大氣層內上升段的軌跡在線規劃，并實現閉環制導的過程為：在每一個軌跡規劃周期的起始時刻，根據導航系統給出的運載器當前狀態，在線計算出滿足路徑約束與終端約束的最優上升軌跡，更新程序角與發動機關機指令，運載器根據新生成的導引指令飛行。如何保證最優上升軌跡在線求解的實時性是實現運載器大氣層內閉環制導的關鍵，同時生成的最優導引指令也應滿足運載器的飛行安全要求。為了進一步保證在線制導的實時性及運載器的飛行安全，提出如下的制導策略：

① 合理選擇軌跡規劃周期。根據軌跡優化算法的求解速度，取合適的軌跡規劃周期。如果軌跡規劃周期較小，算法實時性不能保障；如果規劃周期太長，在外界干擾作用下，進行重規劃時運載器的狀態與上一次規劃的狀態偏差較大，算法求解效率也會降低。

② 合理選取離散節點數目。在滿足制導精度要求的條件下，可適當減小離散節點的數目，采用較少的未知量獲得較高的求解速率。隨著剩余飛行時間的逐漸減小，求解精度會逐步提高。

③ 在線串行優化。當前軌跡規劃的解作為下一次軌跡規劃的初值，不再進行密度同倫，即離線規劃的最優上升軌跡的收斂解作為第一次軌跡在線規劃的初值，每一次軌跡在線規劃的收斂解作為下一次軌跡在線規劃的初值。

④ 自適應反饋更新。某個軌跡在線規劃耗時已超出規劃周期時若還未得到最優解，可繼續使用之前計算得到的導引指令，下一個規劃周期再重新計算，直至取得最優解，更新制導指令。

⑤ 強路徑約束。干擾條件下，根據標稱模型在線優化得到的導引指令不能保證導引運載器飛行時仍能滿足路徑約束，可以根據反饋的運載器狀態實時修正導引指令。

⑥ 導引指令變化率約束。為了減小最優控制模型的復雜性，運載器大氣層內上升軌跡的最優控制模型不考慮攻角、傾側角與俯仰角、偏航角、滾轉角等角度的變化率約束。因此，還需對軌跡在線規劃出的參考指令進行變化速率約束，以保證飛行安全。

運載器大氣層內上升段軌跡在線規劃與閉環制導的邏輯結構如圖1所示。圖1中：FDI為故障檢測與隔離模塊，檢測并識別、隔離故障信息；在每一個規劃周期的起始時刻，軌跡在線規劃模塊采用本文研究的混合優化快速算法求解參考軌跡，給出參考指令，其應用在線串行優化與自適應反饋更新策略；指令合成與輸出模型根據軌跡在線規劃的參考指令實時給出導引指令，并應用強路徑約束與導引指令變化律約束策略對導引指令進行約束。

圖1 軌跡在線規劃與閉環制導的邏輯結構圖Fig.1 Logical structure of trajectory’s online planning and closed-loop guidance

4 仿真驗證與分析

為了驗證算法的性能，對某運載器大氣層內上升段的飛行軌跡進行優化設計。運載器從地面發射后，先垂直上升飛行5.0 s，然后指數攻角轉彎25.0 s，接著進入優化軌跡飛行段。需要對運載器飛行30.0 s后的上升軌跡進行優化設計及閉環制導仿真。飛行過程中要求氣動彎矩≤0.7 kPa·rad，要求關機點高度為60.0 km，速度為2700.0 m/s，彈道傾角為25.4°，軌道傾角為10.0°。

仿真算法采用C++語言編寫，運行環境為CPU主頻為2.0 GHz的工控機。

4.1上升軌跡優化設計

為了保證算法可靠收斂，采用真空解析解初值及密度同倫技術，并采用割線法調整發動機關機時間以滿足末端速度約束要求[2-5]。根據優化得到的導引指令（發動機關機時間、離散姿態角）對動力學方程進行積分，可得到積分狀態量。對積分狀態量與優化狀態量進行對比分析。其中，對優化得到的離散姿態角進行Lagrange插值，獲得積分需要的姿態角。

取不同的離散節點個數，對混合優化法與間接法進行軌跡優化設計對比分析。仿真結果如表1所示。

表1 混合優化法與間接法仿真結果對比Tab.1 Comparison on simulation results for the hybrid method and the indirect method

從表1中可知：①混合優化法與間接法的位置精度和速度精度隨著離散節點個數的增加而提高，但求解耗時也隨之增大；②離散節點個數為15的混合優化法與離散節點個數為60的間接法的求解精度相當，二者的求解耗時分別為0.134 s、7.022 s；③離散節點個數為25的混合優化法與離散節點個數為80的間接法的求解精度相當，二者的求解耗時分別為0.352 s、21.548 s；④在同等精度條件下，混合優化法的離散節點個數比間接法少60%～75%，計算效率高50～60倍左右。

所研究的混合優化法兼具間接法滿足一階最優必要條件與Gauss偽譜法能以較少的離散區間獲得較高求解精度及求解速度快的優點，其求解精度與求解效率均優于間接法。

4.2閉環制導蒙特卡洛打靶仿真

由于干擾作用，運載器上升飛行過程中將偏離設計的標稱軌跡。為了保證關機點的狀態精度，可采用提出的混合優化算法進行閉環制導。

綜合考慮10%軸向力系數偏差、10%法向力系數偏差、8%大氣密度偏差、2%推力偏差及風干擾，各項偏差均服從31σ=的正態分布。建立導航模型，對陀螺儀及加表進行誤差模擬，考慮常值項、一次項及二次項誤差。軌跡規劃周期均取5.0 s，制導周期取100 ms，攻角、傾側角與姿態角的最大變化率為1.0 (°)/s，臨近關機時刻不再進行指令更新。高斯點個數取5，進行500次蒙特卡洛打靶仿真。

繪制其中的40條攻角、傾側角、氣動彎矩曲線如圖 2至圖4所示，從圖中可知：每次導引指令更新時攻角、傾側角呈現出跳變的趨勢，這是由干擾導致彈道偏差而引起的，但受角速率約束，攻角、傾側角變化較為平緩；氣動彎矩絕對值的最大值為0.70.7 kPa?rad，滿足過程約束要求。

關機點狀態偏差的最大值及均值統計結果、散布情況分別如圖5、表2所示，從中可知：關機點高度的最大偏差為-8.93 m，偏差均值-0.91 m；速度的最大偏差為-3.35 m/s，偏差均值-0.04 m/s；彈道傾角的最大偏差為0.015°，偏差均值0.0045°；軌道傾角的最大偏差為0.0018°，偏差均值1.3×10-4(°)。基于混合優化的閉環制導算法具有較高的制導精度。

在每一個制導周期內，軌跡在線規劃求解耗時均小于0.05 s，滿足制導實時性要求。

圖2 攻角隨時間變化曲線Fig.2 Time history of attack angle

圖3 傾側角隨時間變化曲線Fig.3 Time history of heeling angle

圖4 氣動彎矩隨時間變化曲線Fig.4 Time history of aerodynamic bending moment

圖5 關機點狀態偏差散布Fig.5 Deviations of condition error at engine cut-off point

表2 蒙特卡洛打靶仿真結果Tab.2 Results of Monte-carlo simulation

5 結 論

為了擺脫傳統間接法不能同時保證較高的求解精度與求解效率的缺陷，提出了一種基于混合優化的運載器大氣層內閉環制導方法，采用高斯偽譜法求解基于間接法推導的Hamiltonian兩點邊值問題。該方法兼具間接法滿足一階最優必要條件與Gauss偽譜法能以較少的離散區間獲得較高求解精度及求解速度快的優點。為了保證制導實時性與飛行安全要求，提出了包括合理選擇軌跡在線規劃周期與離散節點數目、在線串行優化、自適應反饋更新、強路徑約束與導引指令變化率約束等在內的軌跡在線規劃與閉環制導策略。最優上升軌跡求解的仿真對比分析表明，在同等的求解精度條件下，提出的混合優化算法在求解效率上比間接法具有較大的優勢?；诿商乜宕虬械拈]環制導仿真結果表明，提出的制導算法具有較高的制導精度。

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Closed-loop endo-atmospheric guidance of launch vehicle based on hybrid optimization approach

CUI Nai-gang1, HUANG Pan-xing1, WEI Chang-zhu1, FU Yu2, CHENG Chao1
(1. Department of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China)

In view of the optimal atmospheric ascent closed-loop guidance of launch vehicles, an online trajectory planning and closed-loop guidance approach is studied by combining the direct method with the indirect one for solving optimal atmospheric ascent trajectory. In this approach, Gauss pseudo-spectral method is applied to solve the Hamiltonian two-point boundary value problem of optimal ascent trajectory, which is derived from the indirect method. The hybrid method can obtain high solution accuracy and fast convergence rate with minor nodes. A strategy of on-line trajectory planning is introduced to further guarantee the real-time and safety requirements. The navigation models are established to conduct Monte Carlo targeting simulation with closed-loop guidance. The solution results of optimal ascent trajectory show that, for the same level of solution accuracy, the hybrid algorithm’s node number is 25%-40% of the indirect method’s node number, and the computational efficiency is improved about 50 times. The simulation results show that the guidance algorithm meets the real-time and flight path constraint requirements with high guidance precision. The maximum deviations of altitude, velocity, flight path angle, and orbit inclination at engine cut-off point are -8.93 m, -3.35 m/s, 0.015°, and 0.0018°, respectively.

launch vehicle; endo-atmosphere; optimal closed-loop guidance; indirect method; Gauss pseudospectral method; hybrid optimization

V448.1

A

1005-6734(2015)03-0328-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.03.009

2014-12-31；

2015-05-26

國家自然科學基金項目（61403100）；中央高?；究蒲袠I務費專項基金項目（HIT.NSRIF.2015037）

崔乃剛（1965—），男，教授，博導，研究方向為導彈及空間飛行器飛行力學、制導與控制、濾波理論及應用。

E-mail：Cui_Naigang@163.com