新型無陀螺捷聯慣導系統導航方案設計及建模

李成剛，謝志紅，尤晶晶，夏玉輝，魏學東

新型無陀螺捷聯慣導系統導航方案設計及建模

李成剛1，謝志紅1，尤晶晶2，夏玉輝1，魏學東3

（1. 南京航空航天大學 機電學院，南京 210016；2. 南京林業大學 機械電子工程學院，南京 210037；3. 中航工業自控所 慣性技術航空科技重點實驗室，西安 710065）

針對傳統無陀螺捷聯慣導系統角速度求解復雜，解算效率低，慣性元件安裝精度要求高等問題，提出一種新型的無陀螺捷聯慣導導航方案，將8-UPS型并聯式六維加速度傳感器作為其慣性元件，直接測量出運載體的六維絕對加速度?；谑噶苛W理論，推導了其慣導基本方程；通過數值積分運算來提取載體的線運動參量；運用空間幾何理論建立姿態方程，實時更新捷聯矩陣以獲取載體的角運動參量，從而完成了導航建模與解算。仿真結果表明該系統能滿足航行體中精度實時導航的要求，是有效可行的。與同類導航相比，該系統具有結構緊湊、解算效率高、物理模型誤差敏感性低等優勢。

無陀螺捷聯慣導；六維加速度傳感器；導航解算；慣導基本方程；姿態更新

隨著飛機、導彈、潛艇及機器人技術的現代化發展，捷聯慣導技術成為其向快、準、穩方向發展的關鍵技術。無陀螺捷聯慣導系統（gyro-free strapdown inertial navigation system，GFSINS）由于摒棄了結構復雜，維護困難的陀螺，因而具有結構簡單、成本低廉、使用方便，可靠性高等特征，繼而成為導航研究的新熱點[1]。

目前國內外對傳統GFSINS的研究主要集中于利用多個線加速度計的空間位置組合來代替陀螺測量載體的角運動參量[2]。Tan等提出6加速度計立方體配置構型，將6個加速度計安裝于立方體各個面上，敏感軸方向沿面對角線[3]，該方案結構簡單，但解算出的角速度誤差嚴重積累。對此，Park等在立方體質心處增加3個加速度計，構成9加速度計冗余配置方案[4]，欲對角速度進行修正，實驗證明該方案可有效抑制角速度的誤差發散，但質心處設計對安裝精度要求較高。隨后，楊杰提出一種12加速度計平面構型方案[5]，其中6個加速度計沿彈體圓截面切向，6個加速度計垂直于圓截面，以盡可能減小安裝誤差，提高解耦精度，但其穩定性尚待驗證。此外，在實際工程應用中，傳統基于加速度計組合的GFSINS還存在單軸加速度計橫向靈敏度高、動態誤差大、算法效率低等問題。

慣性導航的求解，本質上是對載體六維加速度的求解，因而若能結合六維加速度傳感器的最新研究成果，將其應用于慣導領域中，則能為當前的無陀螺捷聯慣導研究提供一種新思路。

尤等提出一種9-SPS型并聯式六維加速度傳感器并在其解耦算法與標定方面做了大量工作[6]，研究表明該類型加速度傳感器具有結構緊湊，工作頻帶寬，無橫向靈敏度，測量范圍廣等優點。Xia等在此基礎上研究了并聯式六維加速度傳感器的構型對傳感特性的影響[7]，發現8-UPS構型最具精度優勢。本文將該8-UPS型并聯式六維加速度傳感器引入GFSINS中充當慣性元件，構成一種新型的無陀螺捷聯慣導系統，并對其導航解算方法展開了詳細研究，以解決傳統GFSINS角速度求解復雜、解算效率低的問題。

1 新型GFSINS工作原理

1.1六維加速度傳感器的傳感原理

8-UPS型并聯式六維加速度傳感器以冗余并聯機構為彈性體，壓電陶瓷為敏感元件，通過壓電陶瓷的輸出信號實現對載體六維加速度的測量，其物理模型如圖1所示。一個立方體質量塊通過8條支鏈與一個盒狀支撐外殼相連。8條支鏈分為三組，每組支鏈兩兩正交。每條支鏈均由1個柔性胡克鉸（U）、一個移動副（P，壓電陶瓷充當）和一個柔性球鉸（S）串聯而成，其中U鉸鏈端與質量塊相連，S鉸鏈端與外殼相連。為便于計算與安裝，每組支鏈的U鉸鏈端均設計成多重復合胡克鉸鏈，并安裝于質量塊的三個頂點處，安裝點與質量塊質心構成正四面體。

傳感器工作時，其外殼底板與載體剛性固接，傳感器跟隨載體在慣性空間內做六維加速運動。此時，傳感器外殼的運動加速度即為載體的六維加速度，被視為傳感器系統的輸入信號。在慣性力和慣性力矩的作用下，質量塊壓縮或拉伸8條UPS支鏈。由于壓電陶瓷兩端與鉸鏈相連，各支鏈可視為二力桿，壓電陶瓷受力后產生軸向的伸縮變形?；谡龎弘娦?，壓電陶瓷在其極化方向上產生等效電荷。將8組壓電陶瓷產生的電荷搜集并經電荷放大器處理得到電壓模擬量，以此作為傳感器的輸出信號，供計算機分析處理。

圖1 新型GFSINS的慣性元件三維模型圖Fig.1 3D model of the new GFSINS’s inertial element

8-UPS型并聯式六維加速度傳感器的求解流程如圖2所示，隨后對其進行詳細的運動學與動力學分析。

圖2 8-UPS型六維加速度傳感器的算法流程圖Fig.2 Algorithm flowchart of 8-UPS six-axis accelerometer

1.2運動學模型

8-UPS型并聯式六維加速度傳感器的結構簡圖如圖3所示。圖3中，空心圓圈表示彈性球鉸鏈，空心正方形表示復合胡克鉸鏈。

圖3 新型GFSINS的慣性元件結構簡圖Fig.3 Structure of the new GFSINS’s inertial elements

記質量塊質量為m，邊長為2a，8條支鏈初始長度為L，分別在質量塊、外殼及恒定地面上建立坐標系{M}、{S}、{O}，初始時刻三者重合且坐標原點（M，S，O）位于質量塊質心處，坐標軸分別平行于質量塊的三條正交棱邊。為避免與下文導航解算部分的絕對慣性系{I}混淆，本文將傳感器中建立的慣性系{O}稱為相對慣性系。

設某時刻傳感器各支鏈長度變化量的廣義坐標為ΔL，各支鏈上壓電陶瓷輸出的電壓信號廣義坐標為U，根據正壓電效應與Hooke定律建立傳感器輸出坐標U與支鏈變形量ΔL間的關系為其中：μ表示電荷電壓轉換系數，tn和r分別表示壓電陶瓷的厚度與半徑，表示壓電陶瓷極化方向的彈性柔順系數，d33表示其極化方向壓電系數。

根據空間幾何知識，已知質量塊上非共線3點的坐標即可求得質量塊質心的空間位姿。類似地，基于四面體原理可求取質量塊上3個鉸鏈點B1、B4、B6相對于外殼系{S}的坐標。

在四面體B1-A1A2A3中，三個球鉸鏈點在外殼{S}中的初始位置矢量SpA1、SpA2、SpA3分別為則支鏈長度li可表示為

文中：CD表示運動矢量，上標{C}表示參考坐

E標系，下標{E}表示被描述坐標系，D為描述對象；ABR表示方位矩陣，上下標含義與前者相同。

由此可得三重復合胡克鉸鏈點B1相對于外殼系{S}的位置矢量為

其中，H=2L2+6aL-，

分別對矢量SpB1進行一階和二階時間求導，得鉸鏈點B1相對于外殼系{S}的速度和加速度矢量分別為

由于傳感器實際應用時，支鏈長度的變化特性只能依靠數據采集獲得的離散信號得到，因而式(4)采用數值微分法進行。

同樣方法可求得鉸鏈點B4、B6相對于外殼系{S}的位置、速度和加速度矢量。

結合第4個四面體M-B1B4B6，可得質量塊{M}相對于外殼{S}的位置矢量SpM和旋轉矩陣MSR分別為

對式(5)進行一次微分、二次微分后，可得質量塊{M}相對于外殼{S}的線速度、線加速度、角速度、角加速度矢量分別為

文中，?q表示對應矢量q的反對稱矩陣。

用四元數描述物體角運動，單位四元數可表示為

式中，ε1,ε2,ε3,ε4∈R，且有ξTξ=1。

傳感器外殼{S}相對于相對慣性系{O}的旋轉矩陣OSR以及角速度矢量OωS可用齊次形式表示為

由矢量代數易知質量塊{M}相對于相對慣性系{O}的絕對運動角速度和角加速度矢量分別為

質量塊{M}相對于相對慣性系{O}的位置矢量、速度矢量、加速度矢量分別為

1.3 動力學模型

基于數據采集卡第i個通道采集到的電壓值Ui，對應第i條支鏈的軸向力fi為

傳感器工作過程中第i條支鏈的長度可表示為

質量塊所受的外力包括沿8條支鏈軸向的壓縮（拉伸）力及自身重力，其合力F以及對質量塊質心的合力矩T分別為

根據牛頓-歐拉法，建立8-UPS型六維加速度傳感器系統的動力學方程為

式中，M(OI)表示質量塊質心相對于相對慣性系{O}M的慣性張量在質量塊坐標系{M}中的表示，該參量與質量塊本身的結構參數有關，為定量。

將式(9)、(10)、(13)、(14)整理可得傳感器系統的兩組動力學方程分別為

1.4解耦算法

式(15)、(16)均為高度耦合的二階非線性微分方程組，直接對其求解比較困難。現引入輔助角速度*ω，使其滿足關系式[8]對上式兩邊進行微分，得

將式(17)、(18)代入式(16)可將其化簡為只包含*ω和*ω˙的一階非定常線性微分方程組：

對式(19)采用改進的歐拉算法進行求解，可得傳感器任意時刻的輔助角速度*ω和角加速度*ω˙。聯立式(8)、(17)可得

該方程為一階非定常線性微分方程。同樣采用改進的歐拉算法遞推得到傳感器任意時刻外殼{S}相對于相對慣性系{O}的旋轉四元數參量ξ及其導數˙。

由于數值計算會引入誤差，使得四元數不滿足關系式T1=ξξ，此處對四元數進行違約修正，用式確定的修正值*ξ來代替ξ：

將以上得到的傳感器某時刻的ω*、ω˙*及ξ分別代入式(8)、式(17)、式(18)中，可得到任意時刻傳感器外殼相對于相對慣性系{O}的旋轉矩陣、角速度矢量OωS以及角加速度矢量OαS。再將得到的運動參數代入到第一組動力學方程（式(15)）中即得到傳感器外殼相對于相對慣性系{O}的線加速度矢量Oa。S

1.5導航工作原理

將傳感器解耦出的有效參數作為慣性元件的輸出，輸入到導航解算系統中。由于傳感器安裝在載體的非質心處，因而系統進行解算時，首先要將以外殼系{S}為主體的運動參量全部轉換為以載體系{B}為主體的參量，后者表征了載體的絕對運動狀態。借助捷聯矩陣將轉換后的載體加速度投影到導航參考系中，然后代入慣導基本方程中求出導航線加速度，線加速度經一次積分即可得導航線速度。此線速度一則作為導航系統的線速度輸出，二則作為導航位置求解的輸入，三則輸入到導航角速度方程中用于求解位置角速度。運用空間幾何理論建立姿態方程，實時更新捷聯矩陣，并用反三角函數求解出姿態角。新型GFSINS的導航解算流程如圖4所示。

圖4 GFSINS導航工作原理圖Fig.4 Navigation functional principle of GFSINS

2 導航解算

導航解算需要的常用參考坐標系如圖5所示。

絕對慣性系{I}：恒定不變坐標系，原點o位于地心，xI軸指向春分點，zI軸沿地球自轉軸，yI軸與xI、zI軸構成右手系。

地球坐標系{E}：為載體航行提供地球參考，原點位于地心，xE軸穿越本初子午線與赤道的交點，zE軸穿越地球北極點，yE軸穿越東經90°子午線與赤道的交點。該坐標系與地球固聯。

地理坐標系{G}：跟蹤載體在地球表面的位置，原點位于載體質心，xG軸在當地水平面內指向東，yG軸沿當地子午線指向北，zG軸沿當地垂線指向天，又稱為東北天坐標系。

載體坐標系{B}：與載體固聯，用來跟蹤載體的姿態，原點位于載體質心，xB軸沿載體橫軸向右，yB軸沿載體縱軸向前，zB軸沿載體立軸向上。

導航坐標系{N}：導航基準坐標系，本文設導航系與地理系重合，該系統又稱為指北方位系統。

在進行導航系統參數解算時，待求參數有：載體相對于地球的位置，載體相對于地球的速度在導航系{N}中的表示，載體系{B}相對于導航系{N}的姿態，以及載體系{B}相對于導航系{N}的角速度在載體系{B}中的表示。

將傳感器與載體剛性固接，保證載體系{B}和外殼系{S}相互平行。此時，傳感器安裝位置矢量Bp為S

圖5 導航參考坐標系示意圖Fig.5 Diagram of navigation reference frames

靜基座條件下，導航的初始位置及姿態記為

式中：λ、φ、h分別表示載體的經度、緯度、高度；θ、γ、φ分別表示載體的俯仰角、橫滾角和航向角。

2.1運動參量轉換

根據第1節中六維加速度傳感器的各項輸出參數，首先將其轉換為以載體系{B}為主體的參量，如圖6所示，由于傳感器位置固定，載體系{B}和外殼

系{S}始終相互平行且相對靜止，故有

圖6 載體、外殼和相對慣性坐標系間的位置關系示意圖Fig.6 Position relations among the body, the shell, and the relative inertial coordinates

已知絕對慣性系{I}和相對慣性系{O}之間相差初始位姿矢量0P、0J。欲實現其相互轉換，需以零時刻導航系{N0}為橋梁，先將絕對慣性系{I}經三次基本旋轉后與導航系{N0}重合，再將導航系{N0}經三次基本旋轉后與相對慣性系{O}重合。根據歐拉定理：

根據速度合成定理，有

式中，IaO=0，IωO=0，且由于載體系{B}和導航系{N}原點相互重合，故有

與其他類型的捷聯慣導系統相比，IaB和B(IωB)分別與線加速度計測量值和陀螺測量值相互等效。

2.2慣導基本方程

參考圖5中的位置關系，根據矢量力學原理推導出導航系{N}相對于絕對慣性系{I}的位置矢量為式中，I

E=0p。

將EVN表示到導航系{N}中可得導航速度為

對式(32)兩邊進行微分，并聯系式(30)、式(31)化簡得慣導基本方程為

值得注意的是，與傳統的單軸加速度計組合測量不同，新型慣性元件能直接測量出運載體的六維絕對加速度而非比力從而包含地球引力場的影響，避免了加速度轉換過程中的重力補償問題，進而提高了導航線運動參數解算的效率和精度。

導航速度為

在指北方位系統中，東向速度分量引起運載體經度變化，北向速度分量引起運載體緯度變化。導航速度的直角坐標與經緯坐標轉換[9]如下：表示地球半徑。將導航速度進行一次積分可得導航位置

式中：

分別采用梯形法和辛普森法則[10]完成式(34)和式(36)中的數值積分運算。

最終，導航的位置和速度參數表示為

2.3導航姿態信息提取

聯系式(27)，由角速度加法公式求解導航角速度為

根據空間幾何理論，導航姿態方程為

由上述兩式可知，由于傳感器解耦過程中能輸出角運動參量，因而新型GFSINS在角速度求解和姿態更新方面變得十分簡單高效，可避免涉入過多的計算誤差，提高了導航角運動參數解算的效率與精度。

已知姿態矩陣表達式為通過反三角函數即可求解出載體姿態角為

式中：J=(θγφ)T，θ∈(-π/2,π/2)，γ∈(-π,π)，φ∈(0,2π)。

由式(41)可知：俯仰角在定義域內正弦函數唯一，可單值確定；橫滾角和航向角在定義域內正切函數不唯一，需中其他元素輔助判定，判定如表1。

表1 橫滾角γ和航向角φ的真值判定表Tab.1 Determination of rollγand yawφ

3 仿真試驗及分析

在計算機上對新型GFSINS進行靜基座條件下的仿真分析，如圖7所示，分別建立8-UPS型傳感器虛擬樣機模型和地球環境虛擬模型。不作特別標注時，下文涉及的線單位為mm，角單位為rad。仿真初始參數設置：=(1.047,0.349,1000)T，=(0.524,0.698,0.873)T，=(100,200,300)T。結合目前飛機、導彈等航行體的飛行量程，對載體施加具有一般性的六維驅動。

圖7 計算機仿真設計圖Fig.7 Simulation design by computer

仿真時間為30 s，采樣頻率為1000 Hz，采集傳感器虛擬樣機中8條支鏈的長度變化量，視為壓電陶瓷的輸出信號，借助計算機依次進行加速度解耦和導航參數解算。引入均方根誤差kS來表征新型GFSINS的測量精度，如式(43)所示，并將每個參數分量誤差的平均值作為參數誤差，記為S。

最終，導航的姿態和角速度參數表示為

式中：N表示仿真步數；Sc、Sr分別表示參數的計算值和真值。限于篇幅，給出新型GFSINS的東向速度誤差如圖8所示，其他詳細誤差見表2。

圖8 新型GFSINS的導航東向速度誤差Fig.8 Velocity errors of the new GFSINS in east direction

表2 新型GFSINS的導航誤差Tab.2 Navigation errors of the new type of GFSINS

觀察并分析圖8、表2可知：①該導航系統在短時間內精度較高，30 s內的位置誤差小于2 m，線速度誤差小于0.2 m/s，姿態誤差小于1.5°，角速度誤差小于0.06 (°)/s，參數解算耗時21.113 s，說明新型GFSINS能滿足載體的中精度實時導航要求，是有效可行的。②與現有的無陀螺捷聯慣導系統相比，本系統對位置和速度的測量精度基本持平，但對角速度和姿態的測量精度則有明顯提高，這是因為傳感器在進行解耦運算時，率先求解出外殼的角運動參數；此外，導航系統解算時，對傳感器輸出的其他解耦變量也進行了充分利用，避免了復雜算法帶來的計算誤差，進而提高了導航系統的精度與效率。③由于數值計算涉入了舍入誤差和截斷誤差，本系統存在誤差積累問題，這也是所有慣導的固有缺陷，可進一步通過優化算法、組合校正等辦法予以改善，對此將另文研究。

4 結 論

提出了一種基于8-UPS型并聯式六維加速度傳感器的新型GFSINS導航方案，以解決傳統GFSINS角速度求解復雜，解算效率低的問題。利用傳感器解耦得到的中間變量，建立新系統的導航數學模型，完成導航解算?；谑噶苛W原理推導慣導基本方程，用六維絕對加速度代替比力從而包含地球引力場的影響，規避重力補償問題，提高了解算精度；根據角速度加法公式建立角速度方程獲取導航角速度；利用空間幾何理論建立姿態方程來實時更新捷聯矩陣。

仿真實驗結果表明：新型GFSINS在30 s內的導航位置誤差優于2 m，線速度誤差優于0.2 m/s，姿態誤差優于1.5°，能滿足航行體的中精度實時導航需求，是有效可行的。較于目前的導航系統，新系統在算法（特別是角速度和姿態算法）的效率與精度兼顧性方面，具有很大競爭力，能夠為當前的GFSINS研究提供一種新思路。

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Navigation scheme design and modeling of a novel gyro-free SINS

LI Cheng-gang1, XIE Zhi-hong1, YOU Jing-jing2, XIA Yu-hui1, WEI Xue-dong3
(1. College of Mechanical and Electronic, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China; 2. College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China; 3. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Inertia, Flight Automatic Control Research Institute, Xi’an 710065, China)

Traditional gyro-free strapdown inertial navigation system(SINS) has such disadvantages as complicated angular velocity decoupling, inefficient navigation parameters calculation, and harsh mounting requirements of inertial sensor, etc. To solve these problems, a new type of gyro-free SINS was put forward, in which an 8-UPS six-axis accelerometer of parallel type was taken as the inertial component to measure the carrier’s absolute six-axis acceleration. The basic inertial navigation equation was derived based on the principle of vector mechanics. The carrier’s line motion parameters were extracted through numerical integration. In addition, the attitude equation was established by geometric theory to real-time update the strapdown matrix. In this way, the navigation modeling and calculating are realized. Simulation results show that the new system is feasible and effective in satisfying the real-time moderate-accuracy navigation requirements. Compared with other similar navigations, the new gyro-free SINS has such advantages as compact structure, high calculation efficiency, and low sensitivity to physical model error, etc.

gyro-free SINS; six-axis accelerometer; navigation calculation; basic inertial navigation equation; attitude update

U666.1

A

1005-6734(2015)03-0303-08

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.03.005

2015-01-06；

2015-05-06

國家自然科學基金（51175263、51405237）；航空科學基金（20130852017）；南京航空航天大學研究生創新基地（實驗室）開放基金（kfjj201436）；中央高?；究蒲袠I務費專項基金；江蘇省高校自然科學研究資助（14KJB460020）

李成剛（1975—），男，副教授，從事六維加速度傳感器、慣性導航技術研究。E-mail：lichenggang@nuaa.edu.cn