用“教學環”策略實施閱讀材料探究教學例說

黃國穩　胡凱林

人教版高中數學教材中的閱讀材料（注：本文特指教材中考綱要求之外的“閱讀與思考”內容）是重要的課程資源，內容極為豐富，用來課外閱讀可以拓寬學生視野、激發學生數學學習興趣，用來課內拓展教學則有利于提升學生的數學學習能力.從必修1到必修5，教材中總共有40個閱讀材料，大致包含四類內容：一種是史學類內容，主要介紹著名數學家在數學史上的重要貢獻；一種是正文拓展類內容，是對教材正文知識的補充和延伸；一種是數學應用類內容，主要包括數學在實際生活中的應用及利用信息技術解決數學問題；一種是思想方法類內容，主要是以數學知識為載體，將數學的思想方法蘊涵于知識之中，體現數學精神.對于史學類和數學應用類閱讀材料，教師通常是讓學生課外自行閱讀；對于正文拓展類和思想方法類閱讀材料，鑒于它與正文知識的密切關聯，隱含重要的數學思想方法，教師通常會把這些內容放到拓展課當中，在課堂中引導學生進行探究式學習.下面我們以人教版必修4第一章第五節《函數[y=Asin（ωx+φ）]的圖象與性質》的“閱讀與思考”閱讀材料教學為例，談談如何運用“教學環”策略實施探究課教學.

一、學情和教學內容分析

本課“閱讀與思考”介紹了振幅、周期、頻率、相位等知識在音樂中的運用：聲音中包含正弦函數，美妙的音樂是由周期函數疊加而成，聲音的函數是[y=sinx+][12sin2x+][13sin3x+…].之前學生已經學習了函數[y=sinx]，[y=][cosx]以及[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質，對函數性質的研究有一定思路，但是，讓學生對幾個特殊函數進行歸納、猜想、推理、論證去發現疊加函數的研究思路，仍然存在相當難度.于是，我們決定讓學生從研究兩個周期函數疊加后的圖象和性質入手，通過圖象推論聲音函數的性質，逐漸累積經驗，而且該內容剛好可以作為函數[y=Asin（ωx+φ）]的圖象和性質的自然延伸.另外，讓學生直接從代數角度去研究函數的性質也不是一件容易的事，我們打算運用幾何畫板動態演示，讓學生先嘗試通過觀察圖象來猜測函數的性質及函數周期性存在的條件，再嘗試運用代數方法推理論證.最終我們確定了如下學習目標：1.會借助幾何畫板畫出圖象，觀察圖象后能猜想函數的性質；2.能運用類比推理和歸納推理等思維方式，獲得研究的方法；3.懂得數學的結論需要通過代數推理論證；4.體會函數的實際運用，激發學習動力.

二、教學流程及操作策略解析

基于“教學環”理念，探究課的課前預習、課堂學習和課后練習依然是一個有機的整體.課前任務導讀須緊扣上一課的教學內容，體現探究內容的連續性；課堂學習意在充分發揮探究教學的作用，啟發學生動手、動腦，實現知識的自主建構，培養自主學習能力；課后思考和練習既要鞏固本課探究學習的內容，又要為下一節課的學習做好鋪墊，體現教學的環環相扣.

（一）課前任務導讀

本課任務導讀之導讀提綱已經融入了上節課的課后思考題當中，為本課導讀的任務主要包括下面兩個問題.

1.求函數[y=sinx+cosx]的定義域，值域，單調性，奇偶性，對稱性，周期性；

2.閱讀“閱讀與思考”，你學到了什么？結合你學到的知識，嘗試求函數[y=sinx+cos2x]的性質.

問題1主要是對上節課的復習；問題2是問題1的變式，也是本課研究[y=sinAx+cosBx]這類函數的特例，目的是引導學生從特例出發，學會歸納一般函數的性質.

（二）課堂知識探究和課后作業布置

通常而言，探究課的基本教學模式包括問題引入、探究實踐、展示交流、反思小結、布置作業5個教學環節.

1.問題引入

由優美動聽的音樂到高深莫測的疊加函數，這個認知跨度對學生來說是相當巨大的.為了引領學生順利進入“音樂中的函數”思維狀態，我們決定運用音頻軟件直觀展示音樂的痕跡，把聲音圖象化，方便學生經由直觀想象架接起音樂和數學函數之間的橋梁，順利進入對音樂中的函數現象的研究狀態.

課堂上，教師先讓全班學生起立，集體唱校歌，并順手打開了千千靜聽音頻軟件，錄下了學生的歌聲這個音頻文件，然后給學生觀察播放中的音樂圖象（如圖1）.

師：看到這個圖象，大家想一想，它是不是有點兒像我們以前學過的哪個函數圖象？

生：好像有點像三角函數的圖象……

師：你能具體說說是像哪一種三角函數的圖象嗎？

生：像是正弦函數的圖象，但有些又不是……

師：為什么說“有些又不是”呢？

生：因為圖象的最高點不一致，且從局部看，周期不同.

師：有道理.不過，其實美妙的音樂是由幾個周期函數疊加而成的，聲音的函數是[y=sinx+12sin2x+][13sin3x+…].今天我們就來學習簡單的正、余弦函數如何形成復雜的疊加函數，如[y=sinAx+cosBx].

直觀想象是數學學科核心素養之一，本環節借助動態圖形，直觀展示了音樂流淌的痕跡，再通過教師的引導，讓學生初步感知到圖形與函數的關系，同時發展數形結合思維.但是，這些初步的感知終歸是不可靠的，它需要代數思想的推理論證.鑒于聲音函數的研究難度較大，我們決定適當降低問題的難度：用簡單的正、余弦函數為基礎，探究復雜函數（如一次疊加的周期函數）的形成.

2.探究實踐

由簡單函數到復雜函數，體現的是從簡單到復雜，從特殊到一般的數學思維過程.在正式研究該問題之前，教師可以引導學生思考研究的方法和目標：先揭示研究的一般過程及方法，再提供類比推理的范例，最終由學生提出本課所要研究的具體問題及具體的研究方法.

師：形如[y=sinAx+cosBx]這類函數，我們學過嗎？

生：學過.

師：請問你在哪里見過？

生：當[A≠0，B=0]時，它可以變成我們學過的正弦型函數[y=sinAx]；當[A=0，B≠0]時，它就成了余弦型函數[y=cosBx]；當[A=B]時，可以利用輔助角公式把該函數轉化為正弦型函數[y=sin（ωx+φ）].

師：很好！你對系數做了充分的討論，那你對于系數[A]，[B]還有什么要求嗎？

生：我覺得應該研究當[A≠B]，且[AB≠0]的時候……

師：好，那我們就研究函數[y=sinAx+cosBx]（其中[A≠B]，且[AB≠0]）.那具體研究什么問題呢？請大家回憶一下，以前我們在學習正弦函數、余弦函數的時候，都研究了哪些問題？

生：研究了它們的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性.

師：我們是如何研究的？

生：通過圖象來研究.

師：那么，對這類函數，能畫出圖象來嗎？

生：不好畫……

師：用之前“五點法”畫函數圖象的辦法來畫這類復雜函數，確實有點困難.不過，大家可以用上咱們手頭的平板電腦.好了，現在每4人一組，試著用幾何畫板軟件來畫出這個函數的圖象，然后再通過這個復雜函數的圖象來研究它的性質吧.

回顧過去，是為了研究現在.在上面的師生對話中，學生的分析能力是相當不錯的，基本能夠按照教師的預設，通過回憶之前函數研究的基本套路，提出本課研究的思路：首先是確定本課想要研究的內容即對函數[y=sinAx+cosBx]中的兩個系數[A]，[B]提出要求，再明確通過圖象研究函數性質的基本思路，從而揭示了研究函數問題的一般過程及方法.

3.展示交流

（1）交流匯報.在該教學環節，學生將以小組為單位，通過動手操作，各組研究一個具體函數的性質：按要求給[A，B]賦予具體的數值，使上面的一般函數變為具體的函數；再運用幾何畫板作圖，觀察并研究該具體函數的性質.之后小組匯報交流各自的研究成果，教師引導學生運用各組的研究成果，歸納和猜想函數周期性存在的條件.

學生的操作過程有條不紊.小組四人分工合作，1人操作、1人記錄、2人觀察分析.動手操作時間約10分鐘.接下來是小組匯報研究成果.

第一組研究[f（x）=sinx+cos2x]，結論如下：定義域，R；值域，（-2，2）；單調性，比較復雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，[2π].

第二組研究[f（x）=sin12x+cos13x]，結論如下：定義域，R；值域，（-2，1.9）；單調性，比較復雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，

歸納總結各組的研究結果，猜想一般函數[y=][sinAx+][cosBx]的性質，大家得出了如下結論：定義域，R；值域，未知；單調性，比較復雜；奇偶性，非奇非偶；周期性，未知.也就是說，在這些有關一般函數的性質中，學生對定義域和奇偶性已基本達成共識，而對值域、單調性、周期性不能做出判定.對于周期性，大家都能得出這個一般函數是有周期的，只是周期不同.那么，一般函數[y=sinAx+cosBx]的周期到底是多少呢？問題得以聚焦.

在以上教學環節，學生通過動手操作、觀察、歸納、猜想，經歷了從特殊現象中提取一般規律的推理過程，這是得出數學結論、構建數學知識體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.

（2）推理論證.推理論證須明確論證方向，懂得運算過程，理解運算對象，掌握運算法則，而這恰恰體現了數學的運算能力.數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段.

在該教學環節，教師先引導學生將以上三組實驗猜想的3個復雜函數一般化為[f（x）=g（x）+φ（x）]，然后分析函數[g（x）]、[φ（x）]的周期和函數[f（x）]的周期之間的關系.記[g（x）]的周期為[T1]，[φ（x）]的周期為[T2]，[f（x）]的周期為[T]，根據以上三組學生的實驗數據，可列出以下三個等式，計算可得[f（x）]的周期.（1）[T1T2=2ππ=21，][T=2π]；（2）[T1T2=4π6π=23，][T=12π]；（3）

4.反思小結

本課內容來自生活，又回歸生活.在該教學環節，教師先讓學生思考與本課內容有關的實際生活中的案例，然后展示音樂音頻圖（如圖2）、心電圖（如圖3）等函數圖象，讓學生真切體會到數學在生活中的應用，感受數學就在身邊，進而激發學習動機.

在該教學環節，教師要引導學生簡單總結本課自己在內容和方法上的收獲，知道先通過圖象、再通過代數論證的方法研究函數[y=sinAx+cosBx]（[A≠B，]且[AB≠0]）的性質，包括研究函數的定義域、奇偶性、周期性等內容，并強化問題研究的一般思路（提出問題，實驗猜想，推理論證），把問題研究的“鑰匙”交給學生，做到“授之以魚不如授之以漁”，不斷提高學生的自主學習能力.其間學生提出了下一步想要研究的問題，即該函數的單調性問題，這剛好是下節課將要研究的內容，說明學生已經掌握了研究問題的一般方法.

5.布置作業

在該教學環節，教師布置了兩道題.

1.函數[y=sinx+][cos2x]的定義域、奇偶性、周期性；

2.函數[y=sinx+][cos2x]的單調性.

第1題用于鞏固本課新知，第2題為下節課做鋪墊.

本課選擇課后“閱讀與思考”閱讀材料作為拓展教學內容，利用“教學環”策略設計整個教學流程，使得教學環環相扣，由上一節“課后練習”即本節的“任務導讀”出發，讓學生經歷提出問題、擬定研究方案、實驗猜想、推理論證、得出結論的完整探究過程，學生自主學習能力得到了有效的培養和提升.（題圖為黃國穩老師在指導學生審題）

（責編 白聰敏）